tìm GTNN của 1/a+1/b+1/c lớn hơn hoặc bằng 9/a+b+c,biết a>0,b>0,c>0 16/11/2021 Bởi Melanie tìm GTNN của 1/a+1/b+1/c lớn hơn hoặc bằng 9/a+b+c,biết a>0,b>0,c>0
Đáp án: Có: (a−1)2≥0(a−1)2≥0 =>a2−2a+1≥0a2−2a+1≥0 =>a2+2a+1≥4aa2+2a+1≥4a (cộng cả 2 vế với 4a) =>(a+1)2≥4a(a+1)2≥4a (1) Tượng tự ta cũng có: (b+1)2≥4b(b+1)2≥4b (2) (c+1)2≥4c(c+1)2≥4c (3) Nhân vế với vế (1),(2),(3) ta có: (a+1)2⋅(b+1)2⋅(c+1)2≥64abc(a+1)2⋅(b+1)2⋅(c+1)2≥64abc => (a+1)2⋅(b+1)2⋅(c+1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√≥64−−√(a+1)2⋅(b+1)2⋅(c+1)2≥64 (vì abc=1) => (a+1)(b+1)(c+1)≥8(a+1)(b+1)(c+1)≥8 Vậy GTNN của P là 8 Giải thích các bước giải: Bình luận
Áp dụng BĐT Cô si ta được : $(a+b+c).(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$ $≥ 3\sqrt[3]{abc}. 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}} = 3.3=9$ $\to \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} ≥ \dfrac{9}{a+b+c}$ Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c>0$ Bình luận
Đáp án:
Có: (a−1)2≥0(a−1)2≥0
=>a2−2a+1≥0a2−2a+1≥0
=>a2+2a+1≥4aa2+2a+1≥4a (cộng cả 2 vế với 4a)
=>(a+1)2≥4a(a+1)2≥4a (1)
Tượng tự ta cũng có:
(b+1)2≥4b(b+1)2≥4b (2)
(c+1)2≥4c(c+1)2≥4c (3)
Nhân vế với vế (1),(2),(3) ta có:
(a+1)2⋅(b+1)2⋅(c+1)2≥64abc(a+1)2⋅(b+1)2⋅(c+1)2≥64abc
=> (a+1)2⋅(b+1)2⋅(c+1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√≥64−−√(a+1)2⋅(b+1)2⋅(c+1)2≥64 (vì abc=1)
=> (a+1)(b+1)(c+1)≥8(a+1)(b+1)(c+1)≥8
Vậy GTNN của P là 8
Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT Cô si ta được :
$(a+b+c).(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$
$≥ 3\sqrt[3]{abc}. 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}} = 3.3=9$
$\to \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} ≥ \dfrac{9}{a+b+c}$
Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c>0$