Tìm GTNN của biểu thức: M=x^2-2x+4y^2+10y+5

Đáp án:

$\min M = -\dfrac94 \Leftrightarrow (x;y)=\left(1;-\dfrac54\right)$

Giải thích các bước giải:

$\quad M = x^2 – 2x + 4y^2 + 10y + 5$

$\to M = (x^2 – 2x +1) + \left(4y^2 + 2.2y.\dfrac52 + \dfrac{25}{4}\right)-\dfrac94$

$\to M = (x-1)^2 + \left(2y +\dfrac52\right)^2-\dfrac94$

Ta có:

$\begin{cases}(x-1)^2 \geq 0\quad \forall x\\\left(2y +\dfrac52\right)^2\geq 0\quad \forall y\end{cases}$

Do đó:

$(x-1)^2 + \left(2y +\dfrac52\right)^2-\dfrac94 \geq -\dfrac94$

$\to M \geq -\dfrac94$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x -1 = 0\\2y +\dfrac52 = 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x = 1\\y = -\dfrac54\end{cases}$

Vậy $\min M = -\dfrac94 \Leftrightarrow (x;y)=\left(1;-\dfrac54\right)$