Tìm GTNN của các biểu thức:
$(a) A=\dfrac{3x^2-12x+10}{x^2-4x+5}$
$ (b)=\dfrac{3y^2}{-25x^2+20xy-5y^2}$ (x khác 0)
Tìm GTNN của các biểu thức:
$(a) A=\dfrac{3x^2-12x+10}{x^2-4x+5}$
$ (b)=\dfrac{3y^2}{-25x^2+20xy-5y^2}$ (x khác 0)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
(a) Ta có:
$A=\dfrac{3x^2-12x+10}{x^2-4x+5}=3-\dfrac{5}{x^2-4x+5}$
$=3-\dfrac{5}{(x-2)^2+1}≥3-5=-2$ (do $(x-2)^2+1≥1⇒-\dfrac{5}{(x-2)^2+1}≥-5$)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=2$
Vậy GTNN của A là -2,đạt được tại $x=2$
(b) Nếu $y=0$ thì $B=0$.Xét trường hợp y khác 0.Đặt $t=\dfrac{x}{y}$ ,ta có:
$B=\dfrac{3y^2}{-25x^2+20xy-5y^2}=\dfrac{3}{-25t^2+20t-5}=\dfrac{-3}{(5t-2)^2+1}$
Vì $(5t-2)^2≥0$ nên:
$\dfrac{1}{(5t-2)^2+1}≤1$
$⇒B≥-3$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $t=\dfrac{2}{5}$ ⇔$x=\dfrac{2}{5}y$
Vậy GTNN của B là -3,đạt được tại $x=\dfrac{2}{5}y$