tìm gtnn của lx-1l+lx+2l+lx-3l+lx-4l +5

Lời giải:

Đặt `A = |x – 1| + |x + 2| + |x – 3| + |x – 4| + 5`

`⇒ A = (|x – 1| + |x – 3|) + (|x + 2| + |x – 4|) + 5`

`⇒ A = (|x – 1| + |3 – x|) + (|x + 2| + |4 – x|) + 5`

`⇒ A ≥ |x – 1 + 3 – x| + |x + 2 + 4 – x| + 5 = 2 + 6 + 5 = 13`

`⇒ A ≥ 13`

Dấu “`=`” xảy ra `⇔` $\left\{ \begin{array}{l}(x – 1)(3 – x) ≥ 0\\(x + 2)(4 – x) ≥ 0\end{array} \right.$

`⇔` $\left\{ \begin{array}{l}(x – 1)(x – 3) ≤ 0\\(x + 2)(x – 4) ≤ 0\end{array} \right.$

+) Với `(x – 1)(x – 3) ≤ 0`

`⇒ x – 1` và `x – 3` trái dấu

Mà `x – 1 > x – 3`

`⇒` $\left\{ \begin{array}{l}x – 1 ≥ 0\\x – 3 ≤ 0\end{array} \right.$

`⇒` $\left\{ \begin{array}{l}x ≥ 1\\x ≤ 3\end{array} \right.$

`⇒ 1 ≤ x ≤ 3`

+) Với `(x + 2)(x – 4) ≤ 0`

`⇒ x + 2` và `x – 4` trái dấu

Mà `x + 2 > x – 4`

`⇒` $\left\{ \begin{array}{l}x + 2 ≥ 0\\x – 4 ≤ 0\end{array} \right.$

`⇒` $\left\{ \begin{array}{l}x ≥ -2\\x ≤ 4\end{array} \right.$

`⇒ -2 ≤ x ≤ 4`

Như vậy, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}1 ≤ x ≤ 3\\-2 ≤ x ≤ 4\end{array} \right.$

`⇒ 1 ≤ x ≤ 3`

Vậy Min `|x – 1| + |x + 2| + |x – 3| + |x – 4| + 5` là `13` `⇔ 1 ≤ x ≤ 3`