Tìm GTNN: M= -3x^2-x+5 N=3x+x^2-2 H=3x^2-y+2y^2+x-12 giúp mik với hứa 5 sao và CTLHN nếu đúng

Đáp án:

Không tồn tại x để M đạt GTNN

\(MinN =  – \dfrac{{17}}{4}\)

\(MinH =  – \dfrac{{293}}{{24}}\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
M =  – 3{x^2} – x + 5\\
 =  – \left( {3{x^2} + x – 5} \right)\\
 =  – \left( {3{x^2} + 2.x\sqrt 3 .\dfrac{1}{{2\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{12}} – \dfrac{{61}}{{12}}} \right)\\
 =  – {\left( {x\sqrt 3  + \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right)^2} + \dfrac{{61}}{{12}}\\
Do:{\left( {x\sqrt 3  + \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right)^2} \ge 0\forall x\\
 \to  – {\left( {x\sqrt 3  + \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right)^2} \le 0\\
 \to  – {\left( {x\sqrt 3  + \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right)^2} + \dfrac{{61}}{{12}} \le \dfrac{{61}}{{12}}\\
 \to Max = \dfrac{{61}}{{12}}\\
 \Leftrightarrow x\sqrt 3  + \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }} = 0\\
 \to x =  – \dfrac{1}{6}
\end{array}\)

⇒ Không tồn tại x để M đạt GTNN

\(\begin{array}{l}
N = {x^2} + 3x – 2\\
 = {x^2} + 2.x.\dfrac{3}{2} + \dfrac{9}{4} – \dfrac{{17}}{4}\\
 = {\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right)^2} – \dfrac{{17}}{4}\\
Do:{\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x\\
 \to {\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right)^2} – \dfrac{{17}}{4} \ge  – \dfrac{{17}}{4}\\
 \to Min =  – \dfrac{{17}}{4}\\
 \Leftrightarrow x =  – \dfrac{3}{2}\\
H = 3{x^2} – y + 2{y^2} + x – 12\\
 = 3{x^2} + x + 2{y^2} – y – 12\\
 = \left( {3{x^2} + 2.x\sqrt 3 .\dfrac{1}{{2\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{12}}} \right) + \left( {2{y^2} – 2.y\sqrt 2 .\dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{8}} \right) – \dfrac{{293}}{{24}}\\
 = {\left( {x\sqrt 3  + \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right)^2} + {\left( {y\sqrt 2  – \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} – \dfrac{{293}}{{24}}\\
Do:{\left( {x\sqrt 3  + \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right)^2} + {\left( {y\sqrt 2  – \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} \ge 0\forall x;y\\
 \to {\left( {x\sqrt 3  + \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right)^2} + {\left( {y\sqrt 2  – \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} – \dfrac{{293}}{{24}} \ge  – \dfrac{{293}}{{24}}\\
 \to Min =  – \dfrac{{293}}{{24}}\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  – \dfrac{1}{6}\\
y =  – \dfrac{1}{4}
\end{array} \right.
\end{array}\)