Tìm $GTNN$ và $GTLN$ của `A=\sqrt(3-2x)+\sqrt(3x-2)`

0 bình luận về “Tìm $GTNN$ và $GTLN$ của `A=\sqrt(3-2x)+\sqrt(3x-2)`”

1. Đáp án:

   $\max A = \dfrac{5}{\sqrt6}\Leftrightarrow x =\dfrac76$

   $\min A = \sqrt{\dfrac53}\Leftrightarrow x =\dfrac23$

   Giải thích các bước giải:

   $A =\sqrt{3 – 2x} + \sqrt{3x-2}\qquad \left(\dfrac23\leq x \leq \dfrac32\right)$

   $+)\quad GTLN$

   $A =\dfrac{1}{\sqrt3}\sqrt{9-6x} +\dfrac{1}{\sqrt2}\sqrt{6x -4}$

   Áp dụng bất đẳng thức $Bunyakovsky$ ta được:

   $A^2 \leq \left(\dfrac13+\dfrac12\right)\left(9 – 6x + 6x -5\right)$

   $\to A^2 \leq \dfrac{25}{6}$

   $\to A \leq \dfrac{5}{\sqrt6}$

   Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt3.\sqrt{9-6x} = \sqrt2.\sqrt{6x -4}$

   $\Leftrightarrow x =\dfrac76$

   Vậy $\max A = \dfrac{5}{\sqrt6}\Leftrightarrow x =\dfrac76$

   $+)\quad GTNN$

   $A = \sqrt{3-2x} +\sqrt{\dfrac32}\sqrt{2x – \dfrac43}$

   $\to A = \sqrt{3-2x} +\sqrt{2x -\dfrac43} + \dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt2}\sqrt{2x -\dfrac43}$

   Ta có:

   $\left(\sqrt{3-2x} +\sqrt{2x -\dfrac43}\right)^2$

   $= \dfrac53 + 2\sqrt{(3-2x)\left(2x-\dfrac43\right)}\geq \dfrac53$

   $\to \sqrt{3-2x} +\sqrt{2x -\dfrac43} \geq \sqrt{\dfrac53}$

   Ta lại có:

   $\sqrt{2x -\dfrac43}\geq 0\quad \forall \dfrac23\leq x \leq \dfrac32$

   $\to \dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt2}\sqrt{2x -\dfrac43} \geq 0$

   Do đó:

   $A = \sqrt{3-2x} +\sqrt{2x -\dfrac43} + \dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt2}\sqrt{2x -\dfrac43} \geq \sqrt{\dfrac53}$

   Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt{2x -\dfrac43} = 0\Leftrightarrow x =\dfrac23$

   Vậy $\min A = \sqrt{\dfrac53}\Leftrightarrow x =\dfrac23$

   Bình luận