tìm hệ số x^16 trong khai triển: a) ( x^2 + 1/x^2 – 2 )^10 b) ( x^2 + 3x + 2 )^16 c) ( x^2 + x + 2 )^10 Help me, pls ????

0 bình luận về “tìm hệ số x^16 trong khai triển: a) ( x^2 + 1/x^2 – 2 )^10 b) ( x^2 + 3x + 2 )^16 c) ( x^2 + x + 2 )^10 Help me, pls ????”

1. Đáp án: a)$190$ b)$C_{16}^6{.2^{10}}.C_6^2{.3^4} + C_{16}^7{.2^9}.C_7^5{.3^2} + C_{16}^8{.2^8}.C_8^8{.3^0}$

    

   Giải thích các bước giải:

   a) Ta có:

   $\begin{array}{l}
   {\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} – 2} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^k}{\left( { – 2} \right)^{10 – k}}\\
    = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( { – 2} \right)}^{10 – k}}} \left( {\sum\limits_{m = 0}^k {C_k^m{x^{2m}}.{{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)}^{k – m}}} } \right)\\
    = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( { – 2} \right)}^{10 – k}}} .\sum\limits_{m = 0}^k {C_k^m{x^{4m – 2k}}} 
   \end{array}$

   Để tìm hệ số của $x^{16}$ thì: $m,k$ thỏa mãn hệ:

   $\left\{ \begin{array}{l}
   4m – 2k = 16\\
   0 \le m \le k\\
   0 \le k \le 10
   \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
   \left\{ \begin{array}{l}
   k = 8\\
   m = 8
   \end{array} \right.\\
   \left\{ \begin{array}{l}
   k = 10\\
   m = 9
   \end{array} \right.
   \end{array} \right.$

   Như vậy: Hệ số của $x^{16}$ trong khai triển là: $C_{10}^8.{\left( { – 2} \right)^2}C_8^8 + C_{10}^{10}.{\left( { – 2} \right)^0}.C_{10}^9 = 190.$

   b) Ta có;

   $\begin{array}{l}
   {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^{16}} = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k} .{\left( {{x^2} + 3x} \right)^k}{.2^{16 – k}}\\
    = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k.} {2^{16 – k}}.\sum\limits_{m = 0}^k {C_k^m} .{x^{2k}}.{\left( {3x} \right)^{k – m}}\\
    = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k.} {2^{16 – k}}.\sum\limits_{m = 0}^k {C_k^m} {.3^{k – m}}{x^{3k – m}}
   \end{array}$

   Để tìm hệ số $x^{16}$ thì $m,k$ thỏa mãn hệ:

   $\left\{ \begin{array}{l}
   3k – m = 16\\
   0 \le m \le k\\
   0 \le k \le 16
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   \left\{ \begin{array}{l}
   k = 6\\
   m = 2
   \end{array} \right.\\
   \left\{ \begin{array}{l}
   k = 7\\
   m = 5
   \end{array} \right.\\
   \left\{ \begin{array}{l}
   k = 8\\
   m = 8
   \end{array} \right.
   \end{array} \right.$

   Suy ra hệ số của $x^{16}$ trong khai triển là: 

   $C_{16}^6{.2^{10}}.C_6^2{.3^4} + C_{16}^7{.2^9}.C_7^5{.3^2} + C_{16}^8{.2^8}.C_8^8{.3^0}$

   Trả lời