tìm hệ số của $x^{31}$ trong khai triển (x+$\frac{1}{x^2}$)^n , biết rằng $C^n_{n}$+$C^{n-1}_{n}$+$\frac{1}{2}$ $A^{2}_{n}$=821
giúp mình với
tìm hệ số của $x^{31}$ trong khai triển (x+$\frac{1}{x^2}$)^n , biết rằng $C^n_{n}$+$C^{n-1}_{n}$+$\frac{1}{2}$ $A^{2}_{n}$=821
giúp mình với
Đáp án: 9880
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}
C_n^n + C_n^{n – 1} + \frac{1}{2}A_n^2 = 821\\
\Rightarrow 1 + n + \frac{1}{2}.\frac{{n!}}{{\left( {n – 2} \right)!}} = 821\\
\Rightarrow 1 + n + \frac{1}{2}.n\left( {n – 1} \right) = 821\\
\Rightarrow \frac{1}{2}{n^2} + \frac{1}{2}n – 820 = 0\\
\Rightarrow n = 40\left( {do:n > 0} \right)\\
\Rightarrow {\left( {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}} = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k.{x^{40 – k}}.{x^{ – 2k}}} = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k.{x^{40 – k – 2k}}} \\
{x^{31}} \Rightarrow 40 – k – 2k = 31 \Rightarrow k = 3\\
\Rightarrow Hệ\,số:C_{40}^3 = 9880
\end{array}$