Toán Tìm hệ số nguyên chứa x^9 trong (1+2x-3x^2)^8 09/09/2021 By Melanie Tìm hệ số nguyên chứa x^9 trong (1+2x-3x^2)^8
\[\begin{array}{l} {\left( {1 + 2x – 3{x^2}} \right)^8} = {\left[ {\left( {1 – x} \right)\left( {1 + 3x} \right)} \right]^8} = {\left( {1 – x} \right)^8}.{\left( {1 + 3x} \right)^8}\\ = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( { – x} \right)}^k}} .\sum\limits_{l = 0}^8 {C_8^l{{\left( {3x} \right)}^l}} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( { – 1} \right)}^k}{x^k}} .\sum\limits_{l = 0}^8 {C_8^l{{.3}^l}{x^l}} \\ = \sum\limits_{k = 0}^8 {\sum\limits_{l = 0}^8 {C_8^k{{\left( { – 1} \right)}^k}C_8^l{3^l}} {x^{k + l}}} \\ Cho\,k + l = 9 = 1 + 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = 4 + 5\\ = 5 + 4 = 6 + 3 = 7 + 2 = 8 + 1\\ TH1:k = 1,l = 8 \Rightarrow he\,so\,C_8^1.{\left( { – 1} \right)^1}.C_8^8{.3^8} = – {8.3^8}\\ TH2:k = 2,l = 7 \Rightarrow he\,so\,C_8^2.{\left( { – 1} \right)^2}.C_8^7{.3^7} = C_8^2.C_8^7{.3^7}\\ … \end{array}\] Bạn làm tiếp các trường hợp còn lại nhé! Trả lời
\[\begin{array}{l}
{\left( {1 + 2x – 3{x^2}} \right)^8} = {\left[ {\left( {1 – x} \right)\left( {1 + 3x} \right)} \right]^8} = {\left( {1 – x} \right)^8}.{\left( {1 + 3x} \right)^8}\\
= \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( { – x} \right)}^k}} .\sum\limits_{l = 0}^8 {C_8^l{{\left( {3x} \right)}^l}} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( { – 1} \right)}^k}{x^k}} .\sum\limits_{l = 0}^8 {C_8^l{{.3}^l}{x^l}} \\
= \sum\limits_{k = 0}^8 {\sum\limits_{l = 0}^8 {C_8^k{{\left( { – 1} \right)}^k}C_8^l{3^l}} {x^{k + l}}} \\
Cho\,k + l = 9 = 1 + 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = 4 + 5\\
= 5 + 4 = 6 + 3 = 7 + 2 = 8 + 1\\
TH1:k = 1,l = 8 \Rightarrow he\,so\,C_8^1.{\left( { – 1} \right)^1}.C_8^8{.3^8} = – {8.3^8}\\
TH2:k = 2,l = 7 \Rightarrow he\,so\,C_8^2.{\left( { – 1} \right)^2}.C_8^7{.3^7} = C_8^2.C_8^7{.3^7}\\
…
\end{array}\]
Bạn làm tiếp các trường hợp còn lại nhé!