Tìm m để x² + 2x – 3 √( x ²+2x +m) +m+2 =0 có 2 nghiệm phân biệt trên [1,2]

0 bình luận về “Tìm m để x² + 2x – 3 √( x ²+2x +m) +m+2 =0 có 2 nghiệm phân biệt trên [1,2]”

1. Đáp án: $ – 4 ≤ m ≤ – 2$

    

   Giải thích các bước giải:

   ĐKXĐ $: x² + 2x + m ≥ 0$

   $ PT ⇔ (\sqrt{x² + 2x + m} – 1)(\sqrt{x² + 2x + m} – 2) = 0 (*)$ 

   $ ⇔ \left[ \begin{array}{l} \sqrt{x² + 2x + m} – 1 = 0\\\sqrt{x² + 2x + m} – 2 = 0\end{array} \right. ⇔ \left[ \begin{array}{l} x² + 2x + m – 1 = 0 (1)\\x² + 2x + m – 4 = 0(2)\end{array} \right.$

   Để $(*)$ có nghiệm thì $(1); (2) $ phải có nghiệm:

   $ Δ’_{1} = 1² – (m – 1) = 2 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 (1)$

   $ Δ’_{2} = 1² – (m – 4) = 5 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 5(2)$

   Gọi $2$ nghiệm của $(1)$ là $x_{1}; x_{2}$

   $ ⇒ x_{1} + x_{2} = – 2 ⇒$ có ít nhất 1 nghiệm $< 0$

   Gọi $2$ nghiệm của $(2)$ là $x_{3}; x_{4}$

   $ ⇒ x_{3} + x_{4} = – 2 ⇒$ có ít nhất 1 nghiệm $< 0$

   Để $(*)$ có 2 nghiệm phân biệt trên $[1; 2]$

   thì có thể giả sử $: x_{1} < 0 < x_{2}; x_{3} < 0 < x_{4}$

   $ ⇒ x_{1} x_{2} = m – 1 < 0 ⇔ m < 1(3)$

   $ ⇒ x_{3} x_{4} = m – 4 < 0 ⇔ m < 4(4)$

   $ x_{2} ∈ [1; 2] ⇔ 1 ≤ – 1 + \sqrt{2 – m} ≤ 2 ⇔ – 7 ≤ m ≤ – 2 (5)$ 

   $ x_{4} ∈ [1; 2] ⇔ 1 ≤ – 1 + \sqrt{5 – m} ≤ 2 ⇔ – 4 ≤ m ≤ 1 (6)$ 

   $ (1); (2); (3); (4); (5); (6) ⇒ – 4 ≤ m ≤ – 2$

   Bình luận