tìm m để hàm số y= 2/3 x^3 + (m+1)x^2 + (m^2 + 4m+3)x + m+2 đạt cực đại, cực tiểu tại x1,x2 thỏa mãn: P= I x1.x2 – 2(x1+x2) I đạt giá trị nhỏ nhất

0 bình luận về “tìm m để hàm số y= 2/3 x^3 + (m+1)x^2 + (m^2 + 4m+3)x + m+2 đạt cực đại, cực tiểu tại x1,x2 thỏa mãn: P= I x1.x2 – 2(x1+x2) I đạt giá trị nhỏ nhất”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   $y = \frac{2}{3}x³ + (m + 1)x² + (m² + 4m + 3)x + m + 2$ 

   $y’ = 2x² + 2(m + 1)x + m² + 4m + 3$  

   Để hàm số đạt cực tiểu tại $x_{1}; x_{2}$ 

   $ ⇔ PT : y’ = 0$  phải có 2 nghiệm pb $x_{1}; x_{2}$

   $Δ’ = (m + 1)² – 2(m² + 4m + 3) = – (m² + 6m + 5) $

   $ = – (m + 1)(m + 5) > 0 ⇔ – 5 < m < -1$

   Theo Viet:

   $ x_{1} + x_{2} = – (m + 1)$

   $ x_{1}x_{2} = \frac{1}{2}(m² + 4m + 3)$

   Vì $ – 5 < m < – 1 ⇔ – 1 < m + 4 < 3 ⇒ 0 ≤ (m + 4)² < 9$

   $P = |x_{1}x_{2} – 2(x_{1} + x_{2})| = | \frac{1}{2}(m² + 4m + 3) + 2(m + 1)|$

   $ = \frac{1}{2}|m² + 8m + 7| = \frac{1}{2}|(m + 4)² – 9| ≤ \frac{9}{2}$

   Vậy $GTLN$ của $P = \frac{9}{2}$ khi $ m + 4 = 0 ⇔ m = – 4 (TM)$

   Bình luận

2. Đáp án:

   $\begin{array}{l}
   y = \dfrac{2}{3}{x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 4m + 3} \right)x + m + 2\\
    \Rightarrow y’ = 2{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 4m + 3
   \end{array}$

   => x1; x2 là nghiệm của pt y’=0

   $\begin{array}{l}
    \Rightarrow \Delta ‘ > 0\\
    \Rightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} – 2.\left( {{m^2} + 4m + 3} \right) > 0\\
    \Rightarrow {m^2} + 2m + 1 – 2{m^2} – 8m – 6 > 0\\
    \Rightarrow {m^2} + 6m + 5 < 0\\
    \Rightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m + 5} \right) < 0\\
    \Rightarrow  – 5 < m <  – 1\\
   Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
   {x_1} + {x_2} =  – m – 1\\
   {x_1}{x_2} = \dfrac{{{m^2} + 4m + 3}}{2}
   \end{array} \right.\\
   P = \left| {{x_1}{x_2} – 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right|\\
    = \left| { – m – 1 – 2.\dfrac{{{m^2} + 4m + 3}}{2}} \right|\\
    = \left| { – m – 1 – {m^2} – 4m – 3} \right|\\
    = \left| { – {m^2} – 5m – 4} \right|\\
    = \left| {{m^2} + 5m + 4} \right|\\
    = \left| {{m^2} + 2.m.\dfrac{5}{2} + \dfrac{{25}}{4} – \dfrac{9}{4}} \right|\\
    = \left| {{{\left( {m + \dfrac{5}{2}} \right)}^2} – \dfrac{9}{4}} \right|\\
   Do:{\left( {m + \dfrac{5}{2}} \right)^2} – \dfrac{9}{4} \ge  – \dfrac{9}{4}\\
    \Rightarrow \left| {{{\left( {m + \dfrac{5}{2}} \right)}^2} – \dfrac{9}{4}} \right| \ge 0\\
    \Rightarrow {\mathop{\rm minP}\nolimits}  = 0\\
    \Leftrightarrow {\left( {m + \dfrac{5}{2}} \right)^2} = \dfrac{9}{4}\\
    \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
   m + \dfrac{5}{2} = \dfrac{3}{2}\\
   m + \dfrac{5}{2} =  – \dfrac{3}{2}
   \end{array} \right.\\
    \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
   m =  – 1\left( {ktm} \right)\\
   m =  – 4\left( {tm} \right)
   \end{array} \right.
   \end{array}$

   Vậy m=-4

   Bình luận