Tìm m để hệ bất phương trình $\left \{ {{x-1>0} \atop {x^{2}-2mx+1\leq0}} \right.$ có nghiệm

Đáp án:

$m \in \left( {1; + \infty } \right)$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
x – 1 > 0\\
{x^2} – 2mx + 1 \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
{x^2} – 2mx + 1 \le 0\left( 1 \right)
\end{array} \right.\left( I \right)$

Tam thức ${x^2} – 2mx + 1$ có $\Delta ‘ = \left( { – {m^2}} \right) – 1 = {m^2} – 1$

+) TH1: Nếu $\Delta ‘ < 0$ thì ${x^2} – 2mx + 1 > 0,\forall x$

$\to $ Bất phương trình $(1)$ vô nghiệm 

$\to$ Hệ bất phương trình $(I)$ vô nghiệm.

+) TH2: Nếu $\Delta ‘ = 0$ thì ${x^2} – 2mx + 1 \ge 0,\forall x$

$\to $ Dấu bằng xảy ra của $(1)$ xảy ra.

Khi đó:

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m = 1\\
{x^2} – 2mx + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m =  – 1\\
{x^2} – 2mx + 1 = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m = 1\\
{x^2} – 2x + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m =  – 1\\
{x^2} + 2x + 1 = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m = 1\\
x = 1\left( {ktm:x > 1} \right)
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m =  – 1\\
x =  – 1\left( {ktm:x > 1} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.$

$\to $ Hệ Bất phương trình $(I)$ vô nghiệm.

+) TH3: $\Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m <  – 1
\end{array} \right.$

Khi đó:

Tam thức $x^2-2mx+1$ có hai nghiệm: ${x_1} = m + \sqrt {{m^2} – 1} ;{x_2} = m – \sqrt {{m^2} – 1} $

Nên $\left( 1 \right) \Leftrightarrow m – \sqrt {{m^2} – 1}  \le x \le m + \sqrt {{m^2} + 1} $

Để hệ $(I)$ có nghiệm

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {1; + \infty } \right) \cap \left[ {m – \sqrt {{m^2} + 1} ;m + \sqrt {{m^2} + 1} } \right] \ne \emptyset \\
 \Leftrightarrow m + \sqrt {{m^2} + 1}  > 1\\
 \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} + 1}  > 1 – m\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 – m < 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
1 – m > 0\\
{m^2} + 1 > {\left( {1 – m} \right)^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
\left\{ \begin{array}{l}
m < 1\\
 – 2m < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
\left\{ \begin{array}{l}
m < 1\\
m > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 1\left( c \right)\\
0 < m < 1\left( l \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $m \in \left( {1; + \infty } \right)$ thỏa mãn