Tìm m để hệ bất phương trình $\left \{ {{x-1>0} \atop {x^{2}-2mx+1\leq0}} \right.$ có nghiệm

0 bình luận về “Tìm m để hệ bất phương trình $\left \{ {{x-1>0} \atop {x^{2}-2mx+1\leq0}} \right.$ có nghiệm”

1. Đáp án:

   $m \in \left( {1; + \infty } \right)$

   Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   $\left\{ \begin{array}{l}
   x – 1 > 0\\
   {x^2} – 2mx + 1 \le 0
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   x > 1\\
   {x^2} – 2mx + 1 \le 0\left( 1 \right)
   \end{array} \right.\left( I \right)$

   Tam thức ${x^2} – 2mx + 1$ có $\Delta ‘ = \left( { – {m^2}} \right) – 1 = {m^2} – 1$

   +) TH1: Nếu $\Delta ‘ < 0$ thì ${x^2} – 2mx + 1 > 0,\forall x$

   $\to $ Bất phương trình $(1)$ vô nghiệm 

   $\to$ Hệ bất phương trình $(I)$ vô nghiệm.

   +) TH2: Nếu $\Delta ‘ = 0$ thì ${x^2} – 2mx + 1 \ge 0,\forall x$

   $\to $ Dấu bằng xảy ra của $(1)$ xảy ra.

   Khi đó:

   $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   \left\{ \begin{array}{l}
   m = 1\\
   {x^2} – 2mx + 1 = 0
   \end{array} \right.\\
   \left\{ \begin{array}{l}
   m =  – 1\\
   {x^2} – 2mx + 1 = 0
   \end{array} \right.
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   \left\{ \begin{array}{l}
   m = 1\\
   {x^2} – 2x + 1 = 0
   \end{array} \right.\\
   \left\{ \begin{array}{l}
   m =  – 1\\
   {x^2} + 2x + 1 = 0
   \end{array} \right.
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   \left\{ \begin{array}{l}
   m = 1\\
   x = 1\left( {ktm:x > 1} \right)
   \end{array} \right.\\
   \left\{ \begin{array}{l}
   m =  – 1\\
   x =  – 1\left( {ktm:x > 1} \right)
   \end{array} \right.
   \end{array} \right.$

   $\to $ Hệ Bất phương trình $(I)$ vô nghiệm.

   +) TH3: $\Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   m > 1\\
   m <  – 1
   \end{array} \right.$

   Khi đó:

   Tam thức $x^2-2mx+1$ có hai nghiệm: ${x_1} = m + \sqrt {{m^2} – 1} ;{x_2} = m – \sqrt {{m^2} – 1} $

   Nên $\left( 1 \right) \Leftrightarrow m – \sqrt {{m^2} – 1}  \le x \le m + \sqrt {{m^2} + 1} $

   Để hệ $(I)$ có nghiệm

   $\begin{array}{l}
    \Leftrightarrow \left( {1; + \infty } \right) \cap \left[ {m – \sqrt {{m^2} + 1} ;m + \sqrt {{m^2} + 1} } \right] \ne \emptyset \\
    \Leftrightarrow m + \sqrt {{m^2} + 1}  > 1\\
    \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} + 1}  > 1 – m\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   1 – m < 0\\
   \left\{ \begin{array}{l}
   1 – m > 0\\
   {m^2} + 1 > {\left( {1 – m} \right)^2}
   \end{array} \right.
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   m > 1\\
   \left\{ \begin{array}{l}
   m < 1\\
    – 2m < 0
   \end{array} \right.
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   m > 1\\
   \left\{ \begin{array}{l}
   m < 1\\
   m > 0
   \end{array} \right.
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   m > 1\left( c \right)\\
   0 < m < 1\left( l \right)
   \end{array} \right.
   \end{array}$

   Vậy $m \in \left( {1; + \infty } \right)$ thỏa mãn

   Bình luận