Tìm m để hệ phương trình $\left \{ {{x-y=2} \atop {mx+3y=6}} \right.$
Có nghiệm duy nhất sao cho $\left \{ {{x,y>0} \atop {x^{2}+y^{2}=100}} \right.$
Tìm m để hệ phương trình $\left \{ {{x-y=2} \atop {mx+3y=6}} \right.$
Có nghiệm duy nhất sao cho $\left \{ {{x,y>0} \atop {x^{2}+y^{2}=100}} \right.$
$\left\{\begin{matrix}x-y=2\\mx+3y=6\end{matrix}\right.$
Ta có $x-y=2\Rightarrow x=y+2$
Mà $x^2+y^2=100\Rightarrow (y+2)^2+y^2=100\\\Leftrightarrow 2y^2+4y-96=0\\\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}y=-8\ (loại)\\y=6\ (t/m)\end{matrix}\right.\ (y>0)$
Với $y=6\Rightarrow x=8$
Thế vào $mx+3y=6$ ta được
$8m+18=6\Leftrightarrow 8m=-12\Leftrightarrow m=\dfrac{-3}{2}$
Vậy $m=\dfrac{-3}{2}$ là giá trị cần tìm
`{(x-y=2),(mx+3y=6):}`
`<=> {(3x-3y=6),(mx+3y=6):}`
`<=> {((m+3)x=12),(y=x-2):}`
`<=> {(x=12/(m+3)),(y=12/(m+3)-2):}`
`<=> {(x=12/(m+3)),(y=(6-2m)/(m+3)):}`
Để hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất
`<=> 1/m \ne -1/3`
`<=> m \ne -3`
Để `x,y>0`
`=> m+3>0; 6-2m>0`
`<=> -3<m<3`
Lại có `x^2+y^2=100`
`<=> (x-y)^2+2xy=100`
`<=> 4+2xy=100`
`<=> xy=48`
Thay `x=12/(m+3)`; `y=(6-2m)/(m+3)` vào `xy=48` ta có:
`12/(m+3). (6-2m)/(m+3)=48`
`<=> (12(6-2m))/(m+3)^2=(48(m+3)^2)/(m+3)^2`
`=> 72-24m=48(m^2+6m+9)`
`<=> 72-24m=48m^2+288m+432`
`<=> 48m^2+312m+360=0`
`<=> 2m^2+13m+15=0`
`\Delta=13^2-4.15.2`
`\Delta=49>0`
Do `\Delta>0` nên pt có 2 nghiệm phân biệt
`m_1=(-13+\sqrt{49})/4=-3/2` ™
`m_2=(-13-\sqrt{49})/4=-5`(ktm)
Vậy `m=-3/2`