Tìm m để hs mx^3+3x^2+3(m-1)x+m^2 đồng biến trên 1 khoảng có độ dài bằng căn 3 30/08/2021 Bởi Melody Tìm m để hs mx^3+3x^2+3(m-1)x+m^2 đồng biến trên 1 khoảng có độ dài bằng căn 3
Đáp án: \(m = \dfrac{{2 – 4\sqrt 2 }}{7}\) Giải thích các bước giải: \(y’ = 3m{x^2} + 6x + 3m – 3\) Xét: \(\begin{array}{l}y’ = 0\\ \to 3m{x^2} + 6x + 3m – 3 = 0\left( 1 \right)\end{array}\) Do hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng \(\sqrt 3 \) ⇒ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(\left| {{x_1} – {x_2}} \right| = \sqrt 3 \) \(\begin{array}{l} \to \left\{ \begin{array}{l}3m < 0\\9 – 3m.\left( {3m – 3} \right) > 0\\\left| {{x_1} – {x_2}} \right| = \sqrt 3 \end{array} \right.\\ \to \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\9 – 9{m^2} + 9m > 0\\{x_1}^2 – 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = 3\end{array} \right.\\ \to \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m \in \left( {\dfrac{{1 – \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\\\left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) – 4{x_1}{x_2} = 3\end{array} \right.\\ \to \left\{ \begin{array}{l}m \in \left( {\dfrac{{1 – \sqrt 5 }}{2};0} \right)\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 3\end{array} \right.\\ \to \left\{ \begin{array}{l}m \in \left( {\dfrac{{1 – \sqrt 5 }}{2};0} \right)\\{\left( { – \dfrac{6}{{3m}}} \right)^2} – 4.\dfrac{{3m – 3}}{{3m}} = 3\end{array} \right.\\ \to \left\{ \begin{array}{l}m \in \left( {\dfrac{{1 – \sqrt 5 }}{2};0} \right)\\\dfrac{4}{{{m^2}}} – \dfrac{{4m – 4}}{m} = 3\left( * \right)\end{array} \right.\\\left( * \right) \to \dfrac{{4 – 4{m^2} + 4m – 3{m^2}}}{{{m^2}}} = 0\\ \to – 7{m^2} + 4m + 4 = 0\\ \to \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{2 + 4\sqrt 2 }}{7}\left( l \right)\\m = \dfrac{{2 – 4\sqrt 2 }}{7}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\) Bình luận
Đáp án:
\(m = \dfrac{{2 – 4\sqrt 2 }}{7}\)
Giải thích các bước giải:
\(y’ = 3m{x^2} + 6x + 3m – 3\)
Xét:
\(\begin{array}{l}
y’ = 0\\
\to 3m{x^2} + 6x + 3m – 3 = 0\left( 1 \right)
\end{array}\)
Do hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng \(\sqrt 3 \)
⇒ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(\left| {{x_1} – {x_2}} \right| = \sqrt 3 \)
\(\begin{array}{l}
\to \left\{ \begin{array}{l}
3m < 0\\
9 – 3m.\left( {3m – 3} \right) > 0\\
\left| {{x_1} – {x_2}} \right| = \sqrt 3
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
9 – 9{m^2} + 9m > 0\\
{x_1}^2 – 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = 3
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
m \in \left( {\dfrac{{1 – \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\\
\left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) – 4{x_1}{x_2} = 3
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m \in \left( {\dfrac{{1 – \sqrt 5 }}{2};0} \right)\\
{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 3
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m \in \left( {\dfrac{{1 – \sqrt 5 }}{2};0} \right)\\
{\left( { – \dfrac{6}{{3m}}} \right)^2} – 4.\dfrac{{3m – 3}}{{3m}} = 3
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m \in \left( {\dfrac{{1 – \sqrt 5 }}{2};0} \right)\\
\dfrac{4}{{{m^2}}} – \dfrac{{4m – 4}}{m} = 3\left( * \right)
\end{array} \right.\\
\left( * \right) \to \dfrac{{4 – 4{m^2} + 4m – 3{m^2}}}{{{m^2}}} = 0\\
\to – 7{m^2} + 4m + 4 = 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m = \dfrac{{2 + 4\sqrt 2 }}{7}\left( l \right)\\
m = \dfrac{{2 – 4\sqrt 2 }}{7}\left( {TM} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
Đáp án: sr bạn mk sửa lại r nhé
Giải thích các bước giải: