Tìm m để phương trình $2x^2+(2m+1)x+m-1=0$ có 2 nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn: $3x_1-4x_2=11$ 22/07/2021 Bởi Hadley Tìm m để phương trình $2x^2+(2m+1)x+m-1=0$ có 2 nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn: $3x_1-4x_2=11$
Đáp án: `m=\frac{3±7\sqrt{345}}{48}` Giải thích các bước giải: Ta có: $Δ=(2m+1)^2-4.2.(m-1)$ $=4m^2+4m+1-8m+8$ $=4m^2-4m+9$ Phương trình có $2$ nghiệm $⇔Δ≥0$ $⇔4m^2-4m+9≥0$ $⇔(2m-1)^2+8≥0$ (luôn đúng $∀m$) $⇒$ Phương trình luôn có $2$ nghiệm $∀m$ Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-2m-1}{2}(1)\\x_1x_2=\dfrac{m-1}{2}(2)\end{cases}$ Kết hợp $(1)$ và điều kiện bài cho ta được hệ: $\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-2m-1}{2}\\3x_1-4x_2=11\end{cases}⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-2m-1}{2}-x_2\\3x_1-4x_2=11\end{cases}$ $⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-2m-1}{2}-x_2\\3(\dfrac{-2m-1}{2}-x_2)-4x_2=11\end{cases}⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-2m-1}{2}-x_2\\\dfrac{-6m-3}{2}-7x_2=11\end{cases}$ $⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-2m-1}{2}-x_2\\x_2=\dfrac{-6m-25}{14}\end{cases}⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-4m+9}{7}\\x_2=\dfrac{-6m-25}{14}\end{cases}$ Thay $x_1;x_2$ vào $(2)$ ta được: `\frac{-4m+9}{7}.\frac{-6m-25}{14}=\frac{m-1}{2}` $⇔(4m-9)(6m+25)=49(m-1)$ $⇔24m^2+100m-54m-225-49m+49=0$ $⇔24m^2-3m-176=0(*)$ Ta có: $Δ=(-3)^2-4.24.(-176)=16905>0$ Phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm phân biệt: `m_1=\frac{-(-3)+\sqrt{16905}}{2.24}=\frac{3+7\sqrt{345}}{48}` `m_2=\frac{-(-3)-\sqrt{16905}}{2.24}=\frac{3-7\sqrt{345}}{48}` Bình luận
Đáp án: Giải thích các bước giải: `Δ=(2m+1)^2-4.2.(m-1)` `Δ=4m^2+4m+1-8m+8` `Δ=4m^2-4m+9` `Δ=(2m-1)^2+8 \ge 8 ∀ m` `⇒ PT` luôn có 2 nghiệm pb `x_{1},x_{2}` Theo Vi-ét, ta có: \(\begin{cases} x_{1}+x_{2}=\dfrac{-2m-1}{2}\ (1)\\x_{1}x_{2}=\dfrac{m-1}{2}\ (2)\end{cases}\) `3x_{1}-4x_{2}=11\ (3)` Từ `(1),(3)⇒` \(\begin{cases} x_{1}+x_{2}=\dfrac{-2m-1}{2}\\3x_{1}-4x_{2}=11\end{cases}\) `⇔` \(\begin{cases} 4x_{1}+4x_{2}=-4m-2\\3x_{1}-4x_{2}=11\end{cases}\) `⇔` \(\begin{cases} 7x_{1}=-4m+9\\3x_{1}-4x_{2}=11\end{cases}\) `⇔` \(\begin{cases} x_{1}=\dfrac{-4m+9}{7}\\x_{2}=\dfrac{-12m-50}{28}\end{cases}\) Thay vào `(2)` ta có: `\frac{-4m+9}{7}.\frac{-12m-50}{28}=\frac{m-1}{2}` `⇔ 196m-196=96m^2+184m-900` `⇔ 96m^2-12m-804=0` `⇔` \(\left[ \begin{array}{l}m=\dfrac{1+\sqrt{2145}}{16}\\m=\dfrac{1-\sqrt{2145}}{16}\end{array} \right.\) Vậy ……….. Bình luận
Đáp án: `m=\frac{3±7\sqrt{345}}{48}`
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$Δ=(2m+1)^2-4.2.(m-1)$
$=4m^2+4m+1-8m+8$
$=4m^2-4m+9$
Phương trình có $2$ nghiệm
$⇔Δ≥0$
$⇔4m^2-4m+9≥0$
$⇔(2m-1)^2+8≥0$ (luôn đúng $∀m$)
$⇒$ Phương trình luôn có $2$ nghiệm $∀m$
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-2m-1}{2}(1)\\x_1x_2=\dfrac{m-1}{2}(2)\end{cases}$
Kết hợp $(1)$ và điều kiện bài cho ta được hệ:
$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-2m-1}{2}\\3x_1-4x_2=11\end{cases}⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-2m-1}{2}-x_2\\3x_1-4x_2=11\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-2m-1}{2}-x_2\\3(\dfrac{-2m-1}{2}-x_2)-4x_2=11\end{cases}⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-2m-1}{2}-x_2\\\dfrac{-6m-3}{2}-7x_2=11\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-2m-1}{2}-x_2\\x_2=\dfrac{-6m-25}{14}\end{cases}⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-4m+9}{7}\\x_2=\dfrac{-6m-25}{14}\end{cases}$
Thay $x_1;x_2$ vào $(2)$ ta được:
`\frac{-4m+9}{7}.\frac{-6m-25}{14}=\frac{m-1}{2}`
$⇔(4m-9)(6m+25)=49(m-1)$
$⇔24m^2+100m-54m-225-49m+49=0$
$⇔24m^2-3m-176=0(*)$
Ta có: $Δ=(-3)^2-4.24.(-176)=16905>0$
Phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm phân biệt:
`m_1=\frac{-(-3)+\sqrt{16905}}{2.24}=\frac{3+7\sqrt{345}}{48}`
`m_2=\frac{-(-3)-\sqrt{16905}}{2.24}=\frac{3-7\sqrt{345}}{48}`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`Δ=(2m+1)^2-4.2.(m-1)`
`Δ=4m^2+4m+1-8m+8`
`Δ=4m^2-4m+9`
`Δ=(2m-1)^2+8 \ge 8 ∀ m`
`⇒ PT` luôn có 2 nghiệm pb `x_{1},x_{2}`
Theo Vi-ét, ta có:
\(\begin{cases} x_{1}+x_{2}=\dfrac{-2m-1}{2}\ (1)\\x_{1}x_{2}=\dfrac{m-1}{2}\ (2)\end{cases}\)
`3x_{1}-4x_{2}=11\ (3)`
Từ `(1),(3)⇒`
\(\begin{cases} x_{1}+x_{2}=\dfrac{-2m-1}{2}\\3x_{1}-4x_{2}=11\end{cases}\)
`⇔` \(\begin{cases} 4x_{1}+4x_{2}=-4m-2\\3x_{1}-4x_{2}=11\end{cases}\)
`⇔` \(\begin{cases} 7x_{1}=-4m+9\\3x_{1}-4x_{2}=11\end{cases}\)
`⇔` \(\begin{cases} x_{1}=\dfrac{-4m+9}{7}\\x_{2}=\dfrac{-12m-50}{28}\end{cases}\)
Thay vào `(2)` ta có:
`\frac{-4m+9}{7}.\frac{-12m-50}{28}=\frac{m-1}{2}`
`⇔ 196m-196=96m^2+184m-900`
`⇔ 96m^2-12m-804=0`
`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}m=\dfrac{1+\sqrt{2145}}{16}\\m=\dfrac{1-\sqrt{2145}}{16}\end{array} \right.\)
Vậy ………..