Tìm m để phương trình $2x^2+(2m+1)x+m-1=0$ có 2 nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn: $3x_1-4x_2=11$

Đáp án: `m=\frac{3±7\sqrt{345}}{48}`

Giải thích các bước giải:

Ta có: 

$Δ=(2m+1)^2-4.2.(m-1)$

$=4m^2+4m+1-8m+8$

$=4m^2-4m+9$

Phương trình có $2$ nghiệm

$⇔Δ≥0$

$⇔4m^2-4m+9≥0$

$⇔(2m-1)^2+8≥0$ (luôn đúng $∀m$)

$⇒$ Phương trình luôn có $2$ nghiệm $∀m$

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-2m-1}{2}(1)\\x_1x_2=\dfrac{m-1}{2}(2)\end{cases}$

Kết hợp $(1)$ và điều kiện bài cho ta được hệ:

$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-2m-1}{2}\\3x_1-4x_2=11\end{cases}⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-2m-1}{2}-x_2\\3x_1-4x_2=11\end{cases}$

$⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-2m-1}{2}-x_2\\3(\dfrac{-2m-1}{2}-x_2)-4x_2=11\end{cases}⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-2m-1}{2}-x_2\\\dfrac{-6m-3}{2}-7x_2=11\end{cases}$

$⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-2m-1}{2}-x_2\\x_2=\dfrac{-6m-25}{14}\end{cases}⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-4m+9}{7}\\x_2=\dfrac{-6m-25}{14}\end{cases}$

Thay $x_1;x_2$ vào $(2)$ ta được:

`\frac{-4m+9}{7}.\frac{-6m-25}{14}=\frac{m-1}{2}`

$⇔(4m-9)(6m+25)=49(m-1)$

$⇔24m^2+100m-54m-225-49m+49=0$

$⇔24m^2-3m-176=0(*)$

Ta có: $Δ=(-3)^2-4.24.(-176)=16905>0$

Phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm phân biệt:

`m_1=\frac{-(-3)+\sqrt{16905}}{2.24}=\frac{3+7\sqrt{345}}{48}`

`m_2=\frac{-(-3)-\sqrt{16905}}{2.24}=\frac{3-7\sqrt{345}}{48}`