Tìm m để phương trình 2nhân căn x+1 – x=m+1 có 2 nghiệm phân biệt

Đáp án:

\(m > 0\) và \(m \ne 1\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}2\sqrt {x + 1}  – x = m + 1\left( {DK:x \ge  – 1} \right)\\ \Leftrightarrow x + 1 – 2\sqrt {x + 1}  + 1 =  – m + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 1}  – 1} \right)^2} = 1 – m\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow 1 – m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1\).

Với \(m = 1\) thì phương trình (*) là \({\left( {\sqrt {x + 1}  – 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  – 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  = 1 \Leftrightarrow x = 0\) hay phương trình có nghiệm duy nhất (loại)

Với \(m < 1\) thì (*)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x + 1}  – 1 = \sqrt {1 – m} \\\sqrt {x + 1}  – 1 =  – \sqrt {1 – m} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x + 1}  = 1 + \sqrt {1 – m} \\\sqrt {x + 1}  = 1 – \sqrt {1 – m} \end{array} \right.\)

\(1 – \sqrt {1 – m}  > 0 \Leftrightarrow \sqrt {1 – m}  < 1 \Leftrightarrow 1 – m < 1 \Leftrightarrow m > 0\)

Vậy với \(m > 0\) và \(m \ne 1\) thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.