Tìm m để phương trình 2sin^3x-5cos^2x -(2m-3)sinx=4m-7 có đúng 2 nghiệm âm phân biệt và một nghiệm dương thuộc khoảng (-π;π/2)
Tìm m để phương trình 2sin^3x-5cos^2x -(2m-3)sinx=4m-7 có đúng 2 nghiệm âm phân biệt và một nghiệm dương thuộc khoảng (-π;π/2)
By Claire
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
\[\begin{array}{l}
2{\sin ^3}x – 5{\cos ^2}x – (2m – 3)\sin x = 4m – 7\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^3}x + 5{\sin ^2}x – 5 – (2m – 3)\sin x – (4m – 7) = 0\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^3}x + 4{\sin ^2}x + {\sin ^2}x + 2\sin x – (2m – 1)\sin x – (4m – 2) = 0\\
\Leftrightarrow (\sin x + 2)(2{\sin ^2}x + \sin x – 2m – 1) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = – 2 \to vn\\
2{\sin ^2}x + \sin x – 2m – 1 = 0(*)
\end{array} \right.\\
\end{array}\]
Đặt t=sinx=> (*) ⇔ $2t^{2}+t-2m-1=0$
Để có đúng 2 nghiệm âm phân biệt và một nghiệm dương thuộc khoảng (-π;π/2)=> Pt phải có 1 nghiệm t thuộc (-1;0) và 1 nghiệm t thuộc (0;1)
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow – 1 < {t_1} < 0 < {t_2} < 1\\ \Delta = 1 - 4.2.( - 2m - 1) = 9 + 16m > 0 \Leftrightarrow m > \frac{{ – 9}}{{16}}\\
Vi – et:\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} + {t_2} = \frac{{ – 1}}{2}\\
{t_1}.{t_2} = – 2m – 1
\end{array} \right.\\
De: – 1 < {t_1} < 0 < {t_2} < 1\_thi\_\left\{ \begin{array}{l} m > \frac{{ – 9}}{{16}}\\
{t_1}.{t_2} < 0\\ ({t_1} - 1)({t_2} - 1) > 0\\
({t_1} + 1)({t_2} + 1) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > \frac{{ – 9}}{{16}}\\
– 2m – 1 < 0\\ {t_1}.{t_2} - ({t_1} + {t_2}) + 1 > 0\\
{t_1}.{t_2} + ({t_1} + {t_2}) + 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ – 1}}{2} < m < \frac{{ - 1}}{4} \end{array}\]