Tìm m để phương trình √x²+mx+2 = 2x+1 có 2 nghiệm phân biệt

Đáp án:

\(m > \dfrac{9}{2}\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + mx + 2}  = 2x + 1\\
 \to {x^2} + mx + 2 = 4{x^2} + 4x + 1\left( {DK:x >  – \dfrac{1}{2}} \right)\\
 \to 3{x^2} + \left( {4 – m} \right)x – 1 = 0\left( 1 \right)
\end{array}\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt và \({x >  – \dfrac{1}{2}}\)

\(\begin{array}{l}
 \to \left\{ \begin{array}{l}
16 – 8m + {m^2} + 12 > 0\\
{x_1} >  – \dfrac{1}{2}\\
{x_2} >  – \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} – 8m + 28 > 0\left( {ld} \right)\forall m\\
\left( {{x_1} + \dfrac{1}{2}} \right)\left( {{x_2} + \dfrac{1}{2}} \right) > 0
\end{array} \right.\\
 \to \left( {{x_1} + \dfrac{1}{2}} \right)\left( {{x_2} + \dfrac{1}{2}} \right) > 0\\
 \to {x_1}{x_2} + \dfrac{1}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \dfrac{1}{4} > 0\\
 \to  – \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{m – 4}}{3}} \right) + \dfrac{1}{4} > 0\\
 \to \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{m – 4}}{3}} \right) – \dfrac{1}{{12}} > 0\\
 \to \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{m – 4}}{3}} \right) > \dfrac{1}{{12}}\\
 \to \dfrac{{m – 4}}{3} > \dfrac{1}{6}\\
 \to m – 4 > \dfrac{1}{2}\\
 \to m > \dfrac{9}{2}
\end{array}\)