Tìm m để phương trình sau có nghiệm: \(2m\sqrt 2 \cos \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) + 2\sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + {\sin ^2}x{\cos ^2}x + 3 + {m^2} = 0\)
Help me!
Tìm m để phương trình sau có nghiệm: \(2m\sqrt 2 \cos \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) + 2\sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + {\sin
By Liliana
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Công thức $: \sqrt{2}cos(x – \dfrac{π}{4}) = cosx + sinx $
$: \sqrt{2}cos(x + \dfrac{π}{4}) = cosx – sinx $ .Thay vào :
$ PT ⇔ 1 + 2sinxcosx + 2m(cosx + sinx) + m² $
$ + 1 – 2sinxcosx + 2(cosx – sinx) + 1 + sin²xcos²x = 0$
$ ⇔ (cosx + sinx)² + 2m(cosx + sinx) + m² $
$ + (cosx – sinx)² + 2(cosx – sinx) + 1 + sin²xcos²x = 0$
$ ⇔ (cosx + sinx + m)² + (cosx – sinx + 1)² + sin²xcos²x = 0$
$ ⇔ cosx + sinx + m = cosx – sinx + 1 = sinxcosx = 0$
@ $ sinx = 0 ⇒ cosx = – 1 ⇒ m = 1$
@ $ cosx = 0 ⇒ sinx = 1 ⇒ m = – 1$
Vậy với $ m = ± 1$ thì $PT$ có nghiệm
Đáp án:
`m=+-1`
Giải thích các bước giải:
$2m\sqrt 2 \cos \left( {x – \dfrac{\pi }{4}} \right) + 2\sqrt 2 \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) + {\sin ^2}x{\cos ^2}x + 3 + {m^2} = 0$
`⇔ 1 + 2sinxcosx + 2m(cosx + sinx) + m^2+ 1 – 2sinxcosx + 2(cosx – sinx) + 1 + sin²xcos²x = 0`
`⇔( cosx + sinx)^2 + 2m(cosx + sinx) + m^2+ (cosx – sinx)² + 2(cosx – sinx) + 1 + sin²xcos²x = 0`
`⇔ (cosx + sinx + m)² + (cosx – sinx + 1)² + sin²xcos²x = 0`
`⇔ cosx + sinx + m =0`
`<=>cosx – sinx + 1 =0`
`<=>sinx.cosx = 0`
`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}\sin x=0\\\cos x=0\end{array} \right.\) `<=>`\(\left[ \begin{array}{l}\cos x=-1\\\sin x=1\end{array} \right.\) `<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m=1\\m=-1\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm `<=>m=+-1.`