tìm m để pt sau có nghiệm: x ³.(1+x) = 2.(m+x).(2m+x)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$ x³(1 + x) = 2(m + x)(2m + x) (*)$

$ ⇔ x³ + x^{4} = 4m² + 6mx + 2x²$

$ ⇔ 4x^{4} + 4x³ – 8x² – 24mx – 16m² = 0$

$ ⇔ (4x^{4} + 4x³ + x²) – (9x² + 24mx + 16m²) = 0$

$ ⇔ (2x² + x)² – (3x + 4m)² = 0$

$ ⇔ (2x² + 4x + 4m)(2x² – 2x – 4m) = 0$

$ ⇔ \left[ \begin{array}{l}x² + 2x + 2m = 0 (1)\\x²- x – 2m = 0(2)\end{array} \right.$

Để $(*)$ có nghiệm thì ít nhất $(1)$ hoặc $(2)$ có nghiệm:

$ ⇔ \left[ \begin{array}{l}Δ’_{1} = 1 – 2m ≥ 0 \\Δ_{2} = 1 + 8m ≥ 0\end{array} \right. ⇔\left[ \begin{array}{l}m ≤ \dfrac{1}{2} (3)\\m ≥ – \dfrac{1}{8} (4)\end{array} \right.$

Kết hợp $(3); (4) ⇒ (*)$ luôn có nghiệm với mọi $m$