Tìm m để y=x^3 + 3x^2 + m đạt cực đại, cực tiểu tại 2 điểm A và B sao cho góc AOB bằng 120 độ

0 bình luận về “Tìm m để y=x^3 + 3x^2 + m đạt cực đại, cực tiểu tại 2 điểm A và B sao cho góc AOB bằng 120 độ”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   $y = x³ + 3x² + m$

   $y’ = 3x² + 6x = 3x(x + 2)$

   $y’ < 0 ⇔ – 2 < x < 0$

   $y’ = 0 ⇔ x = – 2; x = 0$

   $y’ > 0 ⇔ x < – 2; x > 0$

   $ ⇒ y_{max} = (-2)³ + 3(-2)² + m = m + 4 ⇔ x = – 2 ⇒ A(- 2; m + 4)$ 

   $ ⇒ y_{min} = 0³ + 3.0² + m = m ⇔ x = 0 ⇒ B(0; m)$ 

   $ OA² = (- 2 – 0)² + (m + 4 – 0)² = m² + 8m + 20$

   $ OB² = (0 – 0)² + (m – 0)² = m² $

   $ AB² = (0 – (- 2))² + (m – (m + 4))² = 20$

   Theo ĐL hàm số cosin:

   $ OA² + OB² – 2OA.OB.cos(AOB) = AB²$

   $ ⇔ m² + 8m + 20 + m² – 2OA.OB.(- \frac{1}{2}) = 20 $ 

   $ ⇔ \left \{ {{OA.OB = – 2m(m + 4)} \atop {- 2m(m + 4) > 0}} \right.$

   $ ⇔ \left \{ {{ OA².OB² = 4m²(m + 4)²} \atop { – 4 < m < 0}} \right.$

   $ ⇔ \left \{ {{m²(m² + 8m + 20) = 4m²(m + 4)² } \atop { – 4 < m < 0}} \right.$

   $ ⇔ \left \{ {{ 3m² + 24m + 44 = 0} \atop { – 4 < m < 0}} \right.$

   $ ⇔ m = – 4 +  \frac{2\sqrt[]{3}}{3} (TM)$

    

   Trả lời