Tìm m để y= m(x^2 +1/ x^2) + 2(x- 1/x)+4 đồng biến trên( 1; 3)

0 bình luận về “Tìm m để y= m(x^2 +1/ x^2) + 2(x- 1/x)+4 đồng biến trên( 1; 3)”

1. Đáp án:

   $m \geq – \dfrac{3}{2}$

   Giải thích các bước giải:

   $y = m\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) + 2\left(x – \dfrac{1}{x}\right) + 4$

   $TXĐ: D = R\backslash\left\{0\right\}$

   Đặt $t = x – \dfrac{1}{x}$

   $\Rightarrow t^2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2} – 2$

   $\Rightarrow t^2 + 2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2}$

   $\Rightarrow y = m(t^2 + 2) + 2t + 4$

   $\Rightarrow y = mt^2 + 2t + 2m + 4$

   $+) \quad m = 0 \Rightarrow y = 2t + 4$

   $\Rightarrow y$ đồng biến trên từng khoảng xác định

   $\Rightarrow y$ đồng biến trên $(1;3)$

   $+) \quad m \ne 0$

   $y’ = 2mt + 2$

   Hàm số đồng biến trên $(1;3)$

   $\Leftrightarrow y’ \geq 0,\, \forall x \in (1;3)$

   $\Leftrightarrow mt + 1 \geq 0, \, \forall t \in \left(0;\dfrac{2}{3}\right)$

   $\Leftrightarrow m \geq – \dfrac{1}{t}, \, \forall t \in \left(0;\dfrac{2}{3}\right)$

   $\Leftrightarrow m \geq \mathop{\max}\limits_{t \in \left(0;\dfrac{2}{3}\right)}\left(- \dfrac{1}{t}\right)$

   Xét $g(t) = – \dfrac{1}{t}$ trên $ \left(0;\dfrac{2}{3}\right)$

   $\Rightarrow g'(t) = \dfrac{1}{t^2} > 0,\, \forall t \in \left(0;\dfrac{2}{3}\right)$

   Bảng biến thiên:

   $\begin{array}{|l|cr|}
   \hline
   x & -\infty &&0 & & & & & \dfrac{2}{3}& &+\infty\\
   \hline
   g'(t) & & + & ||& &  & + &  & |&+& &\\
   \hline
   &&&||&&&&&-\dfrac{3}{2}\\
   g(t) & &&||&&&\nearrow& && & &\\
   &&&||\\
   \hline
   \end{array}$

   Dựa vào bảng biến thiên, ta được:

   $m \geq \mathop{\max}\limits_{t \in \left(0;\dfrac{2}{3}\right)}\left(- \dfrac{1}{t}\right)$

   $\Leftrightarrow m \geq – \dfrac{3}{2}$

   Vậy $m \geq – \dfrac{3}{2}$

   Bình luận