Toán tìm Min √a+b + √b+c + √c+a biết a+b+c=1 18/10/2021 By Liliana tìm Min √a+b + √b+c + √c+a biết a+b+c=1
Đáp án: `min_B=2<=>(a,b,c)=(0,0,1)` và các hoán vị Giải thích các bước giải: Đặt biểu thức là B `a+b+c=1` `=>0<=a,b,c<=1` `=>a(1-a)>=0` `<=>(a+1-1)(1-a)>=0` `<=>-(1-a)^2+(1-a)>=0` `<=>1-a>=(1-a)^2` `<=>\sqrt{1-a}>=1-a` `<=>\sqrt{b+c}>=1-a` Hoàn toàn tương tự: `\sqrt{c+a}>=1-b` `\sqrt{a+b}>=1-a` Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta có: `\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}>=3-(a+b+c)=2` Dấu “=” xảy ra khi `(a,b,c)=(0,0,1)` và các hoán vị. Trả lời
Đáp án:
`min_B=2<=>(a,b,c)=(0,0,1)` và các hoán vị
Giải thích các bước giải:
Đặt biểu thức là B
`a+b+c=1`
`=>0<=a,b,c<=1`
`=>a(1-a)>=0`
`<=>(a+1-1)(1-a)>=0`
`<=>-(1-a)^2+(1-a)>=0`
`<=>1-a>=(1-a)^2`
`<=>\sqrt{1-a}>=1-a`
`<=>\sqrt{b+c}>=1-a`
Hoàn toàn tương tự:
`\sqrt{c+a}>=1-b`
`\sqrt{a+b}>=1-a`
Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta có:
`\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}>=3-(a+b+c)=2`
Dấu “=” xảy ra khi `(a,b,c)=(0,0,1)` và các hoán vị.