Tìm Min x+ căn x +1 trên căn x -1 đk : x>1 29/10/2021 Bởi Arianna Tìm Min x+ căn x +1 trên căn x -1 đk : x>1
Ta có $M = \dfrac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} – 1}$ $= \dfrac{x – \sqrt{x} + 2\sqrt{x} – 2 + 3}{\sqrt{x} – 1}$ $= \sqrt{x} + 2 + \dfrac{3}{\sqrt{x} – 1}$ $= \sqrt{x} – 1 + \dfrac{3}{\sqrt{x} – 1} + 3$ Do $x > 1$ nên $\sqrt{x} – 1 > 0$. Áp dụng BĐT Cauchy ta có $(\sqrt{x} – 1) + \dfrac{3}{\sqrt{x} – 1} \geq 2 \sqrt{(\sqrt{x} – 1) . \dfrac{3}{\sqrt{x} – 1}} = 2\sqrt{3}$ $<-> M \geq 2\sqrt{3} + 3$ Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x} – 1 = \dfrac{3}{\sqrt{x} – 1}$ hay $x = 1 + \sqrt{3}$ Vậy GTNN của M là $2\sqrt{3} + 3$ khi $x = 1 + \sqrt{3}$. Bình luận
Ta có
$M = \dfrac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} – 1}$
$= \dfrac{x – \sqrt{x} + 2\sqrt{x} – 2 + 3}{\sqrt{x} – 1}$
$= \sqrt{x} + 2 + \dfrac{3}{\sqrt{x} – 1}$
$= \sqrt{x} – 1 + \dfrac{3}{\sqrt{x} – 1} + 3$
Do $x > 1$ nên $\sqrt{x} – 1 > 0$. Áp dụng BĐT Cauchy ta có
$(\sqrt{x} – 1) + \dfrac{3}{\sqrt{x} – 1} \geq 2 \sqrt{(\sqrt{x} – 1) . \dfrac{3}{\sqrt{x} – 1}} = 2\sqrt{3}$
$<-> M \geq 2\sqrt{3} + 3$
Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x} – 1 = \dfrac{3}{\sqrt{x} – 1}$ hay $x = 1 + \sqrt{3}$
Vậy GTNN của M là $2\sqrt{3} + 3$ khi $x = 1 + \sqrt{3}$.