Tìm min của `K=2x^2+9y^2-6xy-6y-12y+2004`

Đáp án:

$\min K = 1986 \Leftrightarrow (x;y) = (3;2)$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}K = 2x^2 + 9y^2- 6xy – 6y – 12y + 2004\\ = \dfrac{1}{2}(4x^2 – 12xy + 9y^2) + \dfrac{9}{2}\left(y^2 – 4y + 4\right) + 1986\\ = \dfrac{1}{2}(2x – 3y)^2 + \dfrac{9}{2}(y – 2)^2 + 1986\\ Ta\,\,có:\\ \begin{cases}(2x – 3y)^2 \geq 0,\,\forall x,y\\(y – 2)^2 \geq 0, \, \forall y\end{cases}\\ Do\,\,đó:\\ \dfrac{1}{2}(2x – 3y)^2 + \dfrac{9}{2}(y – 2)^2 + 1986 \geq 1986\\ \text{Dấu = xảy ra}\, \Leftrightarrow \begin{cases}2x – 3y = 0\\y – 2=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}\\ Vậy\,\,\min K = 1986 \Leftrightarrow (x;y) = (3;2)\end{array}$