tìm min max của y y= 2sin4x + 3cos4x + 1 y= sinx + 2 căn (2- sin^2 x ) MONG MỌI NGƯỜI GIÚP ĐỠ

0 bình luận về “tìm min max của y y= 2sin4x + 3cos4x + 1 y= sinx + 2 căn (2- sin^2 x ) MONG MỌI NGƯỜI GIÚP ĐỠ”

1. $1)\, y = 2\sin4x + 3\cos4x + 1$

   Áp dụng bất đẳng thức $Bunyakovsky$ ta được:

   $(y – 1)^2 = (2\sin4x + 3\cos4x)^2 \leq (2^2 + 3^2)(\sin^24x + \cos^24x) = 13$

   $\Rightarrow -\sqrt{13} \leq y – 1 \leq \sqrt{13}$

   $\Rightarrow 1 – \sqrt{13} \leq y \leq 1 + \sqrt{13}$

   Vậy $\min y = 1 – \sqrt{13} \Leftrightarrow 2\sin4x + 4\cos4x = – \sqrt{13} \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{8} – \dfrac{1}{4}\arccos\dfrac{2}{\sqrt{13}} + k\dfrac{\pi}{2}$

   $\max y = 1 + \sqrt{13} \Leftrightarrow 2\sin4x + 4\cos4x = \sqrt{13} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{8} – \dfrac{1}{4}\arccos\dfrac{2}{\sqrt{13}} + k\dfrac{\pi}{2} \qquad (k \in \Bbb Z)$

   $2)\, y = \sin x + 2\sqrt{2 – \sin^2x}$

   Ta có:

   $\sin x \geq – 1$

   $\sin^2x \geq 0$

   $\Leftrightarrow 2 – \sin^2x \geq 1$

   $\Leftrightarrow 2\sqrt{2 – \sin^2x} \geq 2$

   $\Rightarrow \sin x + 2\sqrt{2 – \sin^2x} \geq -1 + 2 = 1$

   Hay $y \geq 1$

   Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \sin x = -1 \Leftrightarrow x = – \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$

   Áp dụng bất đẳng thức $Bunyakovsky$ ta được:

   $y^2 = (\sin x+ 2\sqrt{2 – \sin^2x})^2 \leq (1^2 + 2^2)(\sin^2x + 2 – \sin^2x) = 10$

   $\Rightarrow y \leq \sqrt{10}$

   Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow 2\sin x = \sqrt{2 – \sin^2x} \Leftrightarrow \sin x = \pm \sqrt{\dfrac{2}{5}}$

   Bình luận