Tìm một số chính phương biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau 05/09/2021 Bởi Mackenzie Tìm một số chính phương biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau
Gọi số chính phương cần tìm là $\overline{aabb}$ Khi đó $\overline{aabb} = \overline{aa00} + \overline{bb}$ $= \overline{aa}.100 + b.11$$= a.11.100 + b.11$ $= 11(100a + b)$ $= 11\overline{a0b}$ Do số đã cho là số chính phương nên $\overline{a0b}$ phải là một lũy thừa lẻ của 11 hoặc tích của 11 với một số chính phương nào đó. TH1: $\overline{a0b}$ là một lũy thừa lẻ của 11. Do $\overline{a0b}$ là số có 3 chữ số nên số này sẽ lớn hơn 100 và nhỏ hơn 908. Vậy ta có $100 < 11^n < 908$ $<-> 2 \leq n < 3$ Vậy $n = 2$ (loại) TH2: $\overline{a0b}$ là tích của 11 với một số chính phương $u^2$ nào đó Cũng lập luận như trên ta có $100 < 11.u^2 < 908$ $<-> 10 \leq u^2 \leq 82$ $<-> 4\leq u \leq 9$ Vậy $u = 4, 5, 6, 7, 8, 9$. Khi đó $u^2 = 16, 25, 36, 49, 64, 81$. THay vào ta thấy chỉ có $64.11 = 704$ mới có dạng $\overline{a0b}$. Vậy $a = 7$ và $b = 4$. Số cần tìm là $7744$. Bình luận
Gọi số chính phương cần tìm là $\overline{aabb}$
Khi đó
$\overline{aabb} = \overline{aa00} + \overline{bb}$
$= \overline{aa}.100 + b.11$
$= a.11.100 + b.11$
$= 11(100a + b)$
$= 11\overline{a0b}$
Do số đã cho là số chính phương nên $\overline{a0b}$ phải là một lũy thừa lẻ của 11 hoặc tích của 11 với một số chính phương nào đó.
TH1: $\overline{a0b}$ là một lũy thừa lẻ của 11.
Do $\overline{a0b}$ là số có 3 chữ số nên số này sẽ lớn hơn 100 và nhỏ hơn 908.
Vậy ta có
$100 < 11^n < 908$
$<-> 2 \leq n < 3$
Vậy $n = 2$ (loại)
TH2: $\overline{a0b}$ là tích của 11 với một số chính phương $u^2$ nào đó
Cũng lập luận như trên ta có
$100 < 11.u^2 < 908$
$<-> 10 \leq u^2 \leq 82$
$<-> 4\leq u \leq 9$
Vậy $u = 4, 5, 6, 7, 8, 9$. Khi đó $u^2 = 16, 25, 36, 49, 64, 81$. THay vào ta thấy chỉ có $64.11 = 704$ mới có dạng $\overline{a0b}$.
Vậy $a = 7$ và $b = 4$.
Số cần tìm là $7744$.