Tìm n để: 2^2^n + 4^n + 16 chia hết cho 16

Đáp án:

$n\ge 2; n\in N$

Giải thích các bước giải:

+) Nếu $n=1$ ta có:

${2^{{2^n}}} + {4^n} + 16 = {2^{{2^1}}} + {4^1} + 16 = {2^2} + 4 + 16 = 24\not  \vdots 3$

$\to n=1$ (loại)

+) Nếu $n\ge 2, n\in N*$ ta có:

$\begin{array}{l}
{2^{{2^n}}} + {4^n} + 16\\
 = {2^{{2^n}}} + {2^{2n}} + {2^4}\\
 = {2^4}\left( {{2^{{2^n} – 4}} + {2^{2n – 4}} + 1} \right)
\end{array}$

Mà lại có:

$n \ge 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{2^{{2^n} – 4}} \ge {2^{{2^2} – 4}} = {2^0} = 1 \Rightarrow {2^{{2^n} – 4}} \in N\\
{2^{2n – 4}} \ge {2^{2.2 – 4}} = {2^0} = 1 \Rightarrow {2^{2n – 4}} \in N
\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow {2^4}\left( {{2^{{2^n} – 4}} + {2^{2n – 4}} + 1} \right) \vdots {2^4}\\
 \Leftrightarrow \left( {{2^{{2^n}}} + {4^n} + 16} \right) \vdots 16
\end{array}$

Suy ra: $n\ge 2$ thì $\left( {{2^{{2^n}}} + {4^n} + 16} \right) \vdots 16$

Vậy $n\ge 2; n\in N$ thỏa mãn đề.