Tìm n để: 2^2^n + 4^n + 16 chia hết cho 16

0 bình luận về “Tìm n để: 2^2^n + 4^n + 16 chia hết cho 16”

1. Đáp án:

   $n\ge 2; n\in N$

   Giải thích các bước giải:

   +) Nếu $n=1$ ta có:

   ${2^{{2^n}}} + {4^n} + 16 = {2^{{2^1}}} + {4^1} + 16 = {2^2} + 4 + 16 = 24\not  \vdots 3$

   $\to n=1$ (loại)

   +) Nếu $n\ge 2, n\in N*$ ta có:

   $\begin{array}{l}
   {2^{{2^n}}} + {4^n} + 16\\
    = {2^{{2^n}}} + {2^{2n}} + {2^4}\\
    = {2^4}\left( {{2^{{2^n} – 4}} + {2^{2n – 4}} + 1} \right)
   \end{array}$

   Mà lại có:

   $n \ge 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   {2^{{2^n} – 4}} \ge {2^{{2^2} – 4}} = {2^0} = 1 \Rightarrow {2^{{2^n} – 4}} \in N\\
   {2^{2n – 4}} \ge {2^{2.2 – 4}} = {2^0} = 1 \Rightarrow {2^{2n – 4}} \in N
   \end{array} \right.$

   $\begin{array}{l}
    \Rightarrow {2^4}\left( {{2^{{2^n} – 4}} + {2^{2n – 4}} + 1} \right) \vdots {2^4}\\
    \Leftrightarrow \left( {{2^{{2^n}}} + {4^n} + 16} \right) \vdots 16
   \end{array}$

   Suy ra: $n\ge 2$ thì $\left( {{2^{{2^n}}} + {4^n} + 16} \right) \vdots 16$

   Vậy $n\ge 2; n\in N$ thỏa mãn đề.

   Bình luận