Tìm `n` để phân số tối giản : `(2n+1)/(2n+3)`

Đáp án: Với `n ∈ NN` thì phân số $\dfrac{2n + 1}{2n + 3}$  luôn là phân số tối giản .

Giải thích các bước giải:

Gọi `ƯCLN ( 2n + 1, 2n + 3 ) = d` ( `d ∈ N*` )

`→ 2n + 1 $\vdots$ d ; 2n + 3 $\vdots$ d ` 

`→ [( 2n + 3 ) – ( 2n + 1 )] $\vdots$ d`

`→ [ ( 2n – 2n ) + ( 3 – 1 ) ] $\vdots d`

`→ 2 $\vdots$ d `

`→ d ∈ Ư(2)` mà `d ∈ N*` , `d `là số nguyên tố `→ d = 2 `

Để phân số $\dfrac{2n + 1}{2n + 3}$ là phân số tối giản . 

`→ (2n + 1) $\vdots$ 2 ` hoặc `( 2n + 3 ) $\vdots$ 2 `

Vì `2n + 1 ` và `2n + 3 ` là số lẻ ( với `∀n ∈ `NN` )

`→ (2n + 1) cancel{vdots} 2 ` và  `(2n + 3) cancel{vdots} 2 ` 

Mà đây là `2` số lẻ liên tiếp nên suy ra ƯCLN của chúng bao giờ cũng bằng `1` ( có định lý về cái này đấy ) 

`→` Với `n ∈ NN ` thì phân số $\dfrac{2n + 1}{2n + 3}$ luôn là phân số tối giản .