Tìm `n in N^{**}` sao cho `2^n + 5^n – 65` là SCP

0 bình luận về “Tìm `n in N^{**}` sao cho `2^n + 5^n – 65` là SCP”

1. Đáp án:

    Đặt `A_{z} = |2^n + 5^n – 65|`

   Với `n = 1 -> A_{z} = |2^1 + 5^1 – 65| = |-58| = 58 (Loại)`

   Với `n = 2 -> A_{z} = |2^2 + 5^2 – 65| = |-36| = 36 = 6^2 (Chọn)`
   Với `n = 3 -> A_{z} = |2^3 + 5^3 – 65| = |68| = 68 (Loại)`
   Với `n = 4 -> A_{z} = |2^4 + 5^4 – 65| = |576| = 576 = 24^2  (Chọn)`

   Với `n > 4` , ta có
   `5^n ≡ 0 (mod 5 ) , 65 ≡ 0 (mod 5)`
   `-> 5^n – 65 ≡ 0 (mod 5)`
   `-> 2^n + 5^n – 65 ≡ 2^n (mod 5)`
   Do `A_{z} = 2^n + 5^n – 65` là `SCP`
   `-> A_{z}` chia `5` dư `0,1,4`
   Mà `(2,5) = 1 -> 2^n` không chia hết cho `5`
   `-> 2^n` chia `5` dư `1,4`

   Giả sử `n = 2k + 1 (k in N^{**})`
   `-> 2^n = 2^{2k + 1} = 2^{2k} . 2 = 4^k . 2 ≡ (-1)^k . 2 (mod 5)`
   Nếu `k` chẵn `-> 2^n ≡ 1.2 ≡ 2 (mod 5)`
   Nếu `k` lẻ `-> 2^n ≡ (-1) . 2 ≡ – 2 ≡ 3 (mod 5)`
   `->` Loại vì `2^n` chia `5` dư `1,4`
   `-> n = 2k (k in N^{**})` Do `n > 4 -> k > 2`
   Với `k = 3 -> Loại -> k ≥ 4`

   `-> 2^n = 2^{2k} ≥ 2^{2.4} = 2^8 = 256 `
   `-> A_{z} ≥ 256 + 5^n – 65 = 191 + 5^n > 5^n = (5^k)^2 (1)`

   Mặt khác
   `A_{z} = 2^n + 5^n – 65 = 2^{2k} + 5^{2k} – 65 = 4^k + 25^k – 65 < 25^k + 2.5^k + 1 = (5^k + 1)^2 (2)`
   Từ `(1)(2) -> (5^k)^2 < A_{z} < (5^k + 1)^2`
   `-> A_{z}` không là `SCP`  `(Loại)`
   Vậy `n = 2 ` và `n = 4`

   Giải thích các bước giải:

    

   Bình luận