Toán Tìm n sao cho A=$2^{6}$ + $2^{9}$ + $2^{n}$ là số chính phương 15/07/2021 By Isabelle Tìm n sao cho A=$2^{6}$ + $2^{9}$ + $2^{n}$ là số chính phương
Đáp án: Giải thích các bước giải: Xét n≥6, ta có: $A=2^{6}(1+2^{3}+2^{n-6})$ Vì A là số chính phương nên $1+2^{3}+2^{n-6}$ là số chẵn ⇒ $2^{n-6}$ là số lẻ ⇒ $n-6=0$ ⇒ $n=6$ Xét n≤5, ta có: $A=2^{n}(2^{6-n}+2^{9-n}+1)$ A là số chính phương nên $2^{n}>1$ và $(2^{6-n}+2^{9-n}+1)$ là số chẳn ⇒ $(2^{6-n}+2^{9-n})$ là số lẻ ⇒ $2^{6-n}(1+2^{3})$ là số lẻ Ta dễ dàng nhận thấy $(1+2^{3})$ là số lẻ nên $2^{6-n}$ là số lẻ ⇒ $n=6$ Vậy $n=6$ Trả lời
Đặt: $\begin{array}{l} A = {2^6} + {2^9} + {2^n} = {a^2}\left( {a \in \mathbb{N}} \right)\\ \Leftrightarrow 576 + {2^n} = {a^2}\\ \Leftrightarrow {24^2} + {2^n} = {a^2}\\ \Leftrightarrow {2^n} = \left( {a – 24} \right)\left( {a + 24} \right) \end{array}$ Suy ra tồn tại hai số $p;q$ sao cho $a – 24 = {2^p},a + 24 = {2^q}\left( {p,q \in N;p, < q} \right)$ và $p+q=n$ $\begin{array}{l} \Rightarrow {2^q} – {2^p} = 48\\ \Leftrightarrow {2^p}\left( {{2^{q – p}} – 1} \right) = {2^4}.3\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {2^p} = {2^4}\\ {2^{q – p}} – 1 = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} p = 4\\ q – p = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} p = 4\\ q = p + 2 = 6 \end{array} \right.\\ \Rightarrow p + n = 10\\ A = {2^6} + {2^9} + {2^{10}} = 1600 = {40^2} \end{array}$ Trả lời
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Xét n≥6, ta có:
$A=2^{6}(1+2^{3}+2^{n-6})$
Vì A là số chính phương nên $1+2^{3}+2^{n-6}$ là số chẵn
⇒ $2^{n-6}$ là số lẻ
⇒ $n-6=0$
⇒ $n=6$
Xét n≤5, ta có:
$A=2^{n}(2^{6-n}+2^{9-n}+1)$
A là số chính phương nên $2^{n}>1$ và
$(2^{6-n}+2^{9-n}+1)$ là số chẳn
⇒ $(2^{6-n}+2^{9-n})$ là số lẻ
⇒ $2^{6-n}(1+2^{3})$ là số lẻ
Ta dễ dàng nhận thấy $(1+2^{3})$ là số lẻ nên $2^{6-n}$ là số lẻ
⇒ $n=6$
Vậy $n=6$
Đặt: $\begin{array}{l} A = {2^6} + {2^9} + {2^n} = {a^2}\left( {a \in \mathbb{N}} \right)\\ \Leftrightarrow 576 + {2^n} = {a^2}\\ \Leftrightarrow {24^2} + {2^n} = {a^2}\\ \Leftrightarrow {2^n} = \left( {a – 24} \right)\left( {a + 24} \right) \end{array}$
Suy ra tồn tại hai số $p;q$ sao cho $a – 24 = {2^p},a + 24 = {2^q}\left( {p,q \in N;p, < q} \right)$
và $p+q=n$
$\begin{array}{l} \Rightarrow {2^q} – {2^p} = 48\\ \Leftrightarrow {2^p}\left( {{2^{q – p}} – 1} \right) = {2^4}.3\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {2^p} = {2^4}\\ {2^{q – p}} – 1 = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} p = 4\\ q – p = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} p = 4\\ q = p + 2 = 6 \end{array} \right.\\ \Rightarrow p + n = 10\\ A = {2^6} + {2^9} + {2^{10}} = 1600 = {40^2} \end{array}$