Tìm n thuộc N sao cho n^4+3n^3+n^2 là số chính phương 27/08/2021 Bởi Alexandra Tìm n thuộc N sao cho n^4+3n^3+n^2 là số chính phương
Để $x^4+3x^3+x^2$ là số chính phương thì tổng đó phải có tận cùng là $0;1;4;5;6;9$. Giải thích các bước giải: Thay: +) $n=1$ $1^4+3×1^3+1^2$(Chữ số tận cùng là 5) $⇒$ Thỏa mãn +) $n=2$ $2^4+3×2^3+2^2$(Chữ số tận cùng là 4) $⇒$ Thỏa mãn +) $n=3$ $3^4+3×3^3+3^2$(Chữ số tận cùng là 1) $⇒$ Thỏa mãn +) $n=4$ $4^4+3×4^3+4^2$(Chữ số tận cùng là 4) $⇒$ Thỏa mãn +) $n=5$ $5^4+3×5^3+5^2$(Chữ số tận cùng là 5) $⇒$ Thỏa mãn +) $n=6$ $6^4+3×6^3+6^2$(Chữ số tận cùng là 0) $⇒$ Thỏa mãn +) $n=7$ $7^4+3×7^3+7^2$(Chữ số tận cùng là 9) $⇒$ Thỏa mãn +) $n=8$ $8^4+3×8^3+8^2$(Chữ số tận cùng là 6) $⇒$ Thỏa mãn +) $n=9$ $9^4+3×9^3+9^2$(Chữ số tận cùng là 9) $⇒$ Thỏa mãn +) $n=0$ $0^4+3×0^3+0^2$(Chữ số tận cùng là 0) $⇒$ Thỏa mãn Với những số tự nhiên “n” bất kì thỏa mãn đk $(n∈N)$ thì $n^4+3n^3+n^2$ sẽ là số chính phương. Ví dụ: +) $n=30$ $30^4+3×30^3+30^2$(Chữ số tận cùng là 0) $⇒$ Thỏa mãn +) $n=17$ $17^4+3×17^3+17^2$(Chữ số tận cung là 9) $⇒$ Thỏa mãn +) $n=24$ $24^4+3×24^3+24^2$(Chữ số tận cùng là 4) $⇒$ Thỏa mãn Kết luận: Với những số tự nhiên “n” bất kì thỏa mãn đk $(n∈N)$ thì $n^4+3n^3+n^2$ sẽ là số chính phương. Học tốt!!! Bình luận
`+)` Xét `n=0` thì `0^4+3.0^3+0^2=0` `⇒` đây là một số chính phương. `+)` Xét `n=1` thì `1^4+3.1^3+1^2=5` `⇒` đây không là một số chính phương. `+)` Xét `n=2` thì `2^4+3.2^3+2^2=44` `⇒` đây không là một số chính phương. `+)` Xét `n>2` thì ta giả sử `n^4+3n^3+n^2` là số chính phương thì `4.(n^4+3n^3+n^2)` cũng là số chính phương. Ta xét: `4.(n^4+3n^3+n^2)=4n^2+12n^3+4n^2=n^2(4n^2+12n+4)=n^2.(4n^2+12n+9-5)=n^2.[(2n+3)^2-5]` Ta xét hiệu: `(2n+3)^2-5<(2n+3)^2` Lại có `n>2` thì `n^2+12n+4>4n^2+8n+4` hay `(2n+3)^2-5>(2n+2)^2` `⇒(2n+2)^2<(2n+3)^2-5<(2n+3)^2` Mà `(2n+2)^2,(2n+3)^2` là hai số chính phương liên tiếp nên không có một số chính phương nào giữa hai số chính phương liên tiếp (với `n∈NN`) `⇒(2n+3)^2-5` không phải số chính phương. `⇒n^2.[(2n+3)^2-5]` không phải số chính phương. `⇒n^4+3n^3+n^2` không là số chính phương `⇒` giả sử sai. Vậy `n=0.` Bình luận
Để $x^4+3x^3+x^2$ là số chính phương thì tổng đó phải có tận cùng là $0;1;4;5;6;9$.
Giải thích các bước giải:
Thay:
+) $n=1$
$1^4+3×1^3+1^2$(Chữ số tận cùng là 5) $⇒$ Thỏa mãn
+) $n=2$
$2^4+3×2^3+2^2$(Chữ số tận cùng là 4) $⇒$ Thỏa mãn
+) $n=3$
$3^4+3×3^3+3^2$(Chữ số tận cùng là 1) $⇒$ Thỏa mãn
+) $n=4$
$4^4+3×4^3+4^2$(Chữ số tận cùng là 4) $⇒$ Thỏa mãn
+) $n=5$
$5^4+3×5^3+5^2$(Chữ số tận cùng là 5) $⇒$ Thỏa mãn
+) $n=6$
$6^4+3×6^3+6^2$(Chữ số tận cùng là 0) $⇒$ Thỏa mãn
+) $n=7$
$7^4+3×7^3+7^2$(Chữ số tận cùng là 9) $⇒$ Thỏa mãn
+) $n=8$
$8^4+3×8^3+8^2$(Chữ số tận cùng là 6) $⇒$ Thỏa mãn
+) $n=9$
$9^4+3×9^3+9^2$(Chữ số tận cùng là 9) $⇒$ Thỏa mãn
+) $n=0$
$0^4+3×0^3+0^2$(Chữ số tận cùng là 0) $⇒$ Thỏa mãn
Với những số tự nhiên “n” bất kì thỏa mãn đk $(n∈N)$ thì $n^4+3n^3+n^2$ sẽ là số chính phương.
Ví dụ:
+) $n=30$
$30^4+3×30^3+30^2$(Chữ số tận cùng là 0) $⇒$ Thỏa mãn
+) $n=17$
$17^4+3×17^3+17^2$(Chữ số tận cung là 9) $⇒$ Thỏa mãn
+) $n=24$
$24^4+3×24^3+24^2$(Chữ số tận cùng là 4) $⇒$ Thỏa mãn
Kết luận: Với những số tự nhiên “n” bất kì thỏa mãn đk $(n∈N)$ thì $n^4+3n^3+n^2$ sẽ là số chính phương.
Học tốt!!!
`+)` Xét `n=0` thì `0^4+3.0^3+0^2=0` `⇒` đây là một số chính phương.
`+)` Xét `n=1` thì `1^4+3.1^3+1^2=5` `⇒` đây không là một số chính phương.
`+)` Xét `n=2` thì `2^4+3.2^3+2^2=44` `⇒` đây không là một số chính phương.
`+)` Xét `n>2` thì ta giả sử `n^4+3n^3+n^2` là số chính phương thì `4.(n^4+3n^3+n^2)` cũng là số chính phương.
Ta xét: `4.(n^4+3n^3+n^2)=4n^2+12n^3+4n^2=n^2(4n^2+12n+4)=n^2.(4n^2+12n+9-5)=n^2.[(2n+3)^2-5]`
Ta xét hiệu: `(2n+3)^2-5<(2n+3)^2`
Lại có `n>2` thì `n^2+12n+4>4n^2+8n+4` hay `(2n+3)^2-5>(2n+2)^2`
`⇒(2n+2)^2<(2n+3)^2-5<(2n+3)^2`
Mà `(2n+2)^2,(2n+3)^2` là hai số chính phương liên tiếp nên không có một số chính phương nào giữa hai số chính phương liên tiếp (với `n∈NN`)
`⇒(2n+3)^2-5` không phải số chính phương.
`⇒n^2.[(2n+3)^2-5]` không phải số chính phương.
`⇒n^4+3n^3+n^2` không là số chính phương `⇒` giả sử sai.
Vậy `n=0.`