tìm nEN sao cho n(n – 1).(n-7).(n – 8) là số chính phương

0 bình luận về “tìm nEN sao cho n(n – 1).(n-7).(n – 8) là số chính phương”

1. Đáp án: `n∈{0;1;4;7;8;9}`

    

   Giải thích các bước giải:

   Đặt:

   $A=n(n-1)(n-7)(n-8)$

   $=[n(n-8)][(n-1)(n-7)]$

   $=(n^2-8n)(n^2-8n+7)$

   Để $A$ là số chính phương

   $⇔A=m^2(m∈Z)$

   $⇔n(n-1)(n-7)(n-8)=(n^2-8n)(n^2-8n+7)=m^2(*)$

   $⇔(2n^2-16n)(2n^2-16n+14)=4m^2$

   $⇔(2n^2-16n+7-7)(2n^2-16n+7+7)=4m^2$

   $⇔(2n^2-16n+7)^2-49=4m^2$

   $⇔(2n^2-16n+7)^2-4m^2=49$

   $⇔(2n^2-16n+7-2m)(2n^2-16n+7+2m)=49$

   Do $m∈Z;n∈N$

   $⇒2n^2-16n+7-2m∈Z;2n^2-16n+7+2m∈Z$

   `⇒2n^2-16n+7-2m∈Ư(49)={-49;-7;-1;1;7;49}`

   Xét các trường hợp:

   Trường hợp 1: Nếu $2n^2-16n+7-2m=-7$

   $⇒2n^2-16n+7+2m=-7$

   $⇒2n^2-16n+7-2m=2n^2-16n+7+2m$

   $⇒-2m=2m$

   $⇒4m=0⇒m=0$

   Thay $m=0$ vào $(*)$, ta được: 

   $n(n-1)(n-7)(n-8)=0$

   $⇔\left[ \begin{array}{l}n=0\\n-1=0\\n-7=0\\n-8=0\end{array} \right.$ 

   $⇔\left[ \begin{array}{l}n=0\\n=1\\n=7\\n=8\end{array} \right.$  (thỏa mãn)

   Trường hợp 2: Nếu $2n^2-16n+7-2m=7$

   $⇒2n^2-16n+7+2m=7$

   $⇒2n^2-16n+7-2m=2n^2-16n+7+2m$

   $⇒-2m=2m$

   $⇒4m=0⇒m=0$

   (Giải tương tự trường hợp 1)

   Trường hợp 3: Nếu $2n^2-16n+7-2m=-49(1)$

   $⇒2n^2-16n+7+2m=-1$

   $⇒(2n^2-16n+7+2m)+(2n^2-16n+7-2m)=(-1)+(-49)$

   $⇔2(2n^2-16n+7)=-50$

   $⇔2n^2-16n+7=-25$

   $⇔2n^2-16n+32=0$

   $⇔n^2-8n+16=0$

   $⇔(n-4)^2=0$

   $⇔n-4=0⇔n=4$ (thỏa mãn)

   Thử lại ta thấy thỏa mãn A là số chính phương,m thỏa mãn $(1)$

   Trường hợp 4: Nếu $2n^2-16n+7-2m=-1(2)$

   $⇒2n^2-16n+7+2m=-49$

   $⇒(2n^2-16n+7+2m)+(2n^2-16n+7-2m)=(-1)+(-49)$

   $⇔2(2n^2-16n+7)=-50$

   $⇔2n^2-16n+7=-25$

   $⇔2n^2-16n+32=0$

   $⇔n^2-8n+16=0$

   $⇔(n-4)^2=0$

   $⇔n-4=0⇔n=4$ (thỏa mãn)

   Thử lại ta thấy thỏa mãn A là số chính phương, m thỏa mãn $(2)$

   Trường hợp 5: Nếu $2n^2-16n+7-2m=1(3)$

   $⇒2n^2-16n+7+2m=49$

   $⇒(2n^2-16n+7+2m)+(2n^2-16n+7-2m)=1+49$

   $⇔2(2n^2-16n+7)=50$

   $⇔2n^2-16n+7=25$

   $⇔2n^2-16n-18=0$

   $⇔n^2-8n-9=0$

   $⇔n^2+n-9n-9=0$

   $⇔n(n+1)-9(n+1)=0$

   $⇔(n-9)(n+1)=0$

   $⇔\left[ \begin{array}{l}n-9=0\\n+1=0\end{array} \right. $

   $⇔\left[ \begin{array}{l}n=9\\n=-1\end{array} \right. $

   Đối chiếu điều kiện, ta được $n=9$

   Thử lại ta thấy thỏa mãn A là số chính phương,m thỏa mãn $(3)$

   Trường hợp 6: Nếu $2n^2-16n+7-2m=49(4)$

   $⇒2n^2-16n+7+2m=1$

   $⇒(2n^2-16n+7+2m)+(2n^2-16n+7-2m)=1+49$

   $⇔2(2n^2-16n+7)=50$

   $⇔2n^2-16n+7=25$

   $⇔2n^2-16n-18=0$

   $⇔n^2-8n-9=0$

   $⇔n^2+n-9n-9=0$

   $⇔n(n+1)-9(n+1)=0$

   $⇔(n-9)(n+1)=0$

   $⇔\left[ \begin{array}{l}n-9=0\\n+1=0\end{array} \right. $

   $⇔\left[ \begin{array}{l}n=9\\n=-1\end{array} \right. $

   Đối chiếu điều kiện, ta được $n=9$

   Thử lại ta thấy thỏa mãn A là số chính phương,m thỏa mãn $(4)$

   Vậy `n∈{0;1;4;7;8;9}`

   Bình luận