Tìm nghiệm của đa thức sau: M(x)=2x^4 – 4x^3 – 4x

Đa thức `M(x)` có nghiệm `<=>M(x)=0`

Đặt `t=x-1=>t=x+1`. Thay vào phương trình ta được:

`2(t+1)^4-4(t+1)^3-4(t+1)=0`

`<=>`$2\left(t^4+4t^3+6t^2+4t+1\right)-4\left(t^3+3t^2+3t+1\right)-4\left(t+1\right)=0$

`<=>`$2t^4+8t^3+12t^2+8t+2-4\left(t^3+3t^2+3t+1\right)-4\left(t+1\right)=0$

`<=>`$2t^4+8t^3+12t^2+8t+2-4t^3-12t^2-12t-4-4t-4=0$

`<=>2t^4+4t^3-8t-6=0`

`<=>` $2\left(t+1\right)\left(t^3+t^2-t-3\right)=0$

`=>`  \(\left[ \begin{array}{l}t+1=0\\t^3+t^2-t-3=0\end{array} \right.\) 

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}t=-1\\t^3+t^2-t-3=0\end{array} \right.\) 

Giải phương trình bậc `3` như sau:

Đặt `t=q-1/3` ta được phương trình mới:

`(q-1/3)^3 + (q-1/3)^2 – (q-1/3) – 3=0`

`<=>`$q^3-q^2+\dfrac{q}{3}-\dfrac{1}{27}+q^2-\dfrac{2q}{3}+\dfrac{1}{9}-\left(q-\dfrac{1}{3}\right)-3=0$

`<=>`$q^3-q^2+\dfrac{q}{3}-\dfrac{1}{27}+q^2-\dfrac{2q}{3}+\dfrac{1}{9}-q+\dfrac{1}{3}-3=0$ (1)

`<=>q^3 -4/3q -79/27 +1/3=0`

`<=>q^3 -4/3q-70/27=0`

Ta có một số được tính như sau, số này bắt buộc phải tính để tìm nghiệm:

(Do lớp 7 chưa học số đó nên ta gọi số đó là một số thường hoặc in hoa để dễ tính)

Gọi số đó là `alpha =((-70/27)^2)/(4) + (-4/3)^3/(27)= 43/27>0` ( Ràng buộc phải lớn hơn 0 )

Khi đó nghiệm của phương trình (1) sẽ là:

$q=\sqrt[3]{\dfrac{\dfrac{70}{27}}{2}+\sqrt{ \alpha}}+\sqrt[3]{\dfrac{\dfrac{70}{27}}{2}-\sqrt{\alpha}}$

$q=\sqrt[3]{\dfrac{\dfrac{70}{27}}{2}+\sqrt[]{\dfrac{43}{27}}}+\sqrt[3]{\dfrac{\dfrac{70}{27}}{2}-\sqrt[]{\dfrac{43}{27}}}=1,692637419$

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}t=-1\\t=1,692637419 – \dfrac{1}{3}=1,359304086\end{array} \right.\)

Khi đó ta có nghiệm của phương trình hay đa thức ban đầu là:

`=>` \(\left[ \begin{array}{l}-1=x-1\\1,359304086=x-1\end{array} \right.\) 

`=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=2,359304086\end{array} \right.\) 

Vậy nghiệm của phương trình là: `x=0` hoặc `x=2,359304086`