Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3^x + 4^x = 5^x 11/08/2021 Bởi Alice Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3^x + 4^x = 5^x
Đáp án: `x=2` Giải thích các bước giải: `3^x + 4^x = 5^x` `<=> (3/5)^x + (4/5)^x =1` Ta thấy `x=2` là nghiệm của phương trình trên Với `x ne 2` ta xét: Nếu `x>2` thì `(3/5)^x + (4/5)^x >1` Nếu `x<2` dễ thấy `x=0, x=1` không phải nghiệm của phương trình Nếu `x<0` ta đặt `x=-y` thì `y>0 => y ge 1` Ta có: `(3/5)^x + (4/5)^x =1` `<=> (3/5)^-y + (4/5)^-y =1` `<=> (5/3)^y + (5/4)^y =1` `=>` Phương trình vô nghiệm vì `(5/3)^y + (5/4)^y ge 5/3 + 5/4 >1` Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là `x=2` Bình luận
Em tham khảo: Xét $x=1$ ⇒$3^{1}+4^1=5^1$ (vô lí) Xét $x=2$ ⇒$3^{2}+4^2=5^2$ (đúng) Xét $x>2$ Ta suy ra $x=2k+1$ (K∈Z) ⇒$3^{2k+1}+$$4^{2k+1}=$$5^{2k+1}$ ⇔$9^{k}.3+16^k.4=25^k.5$ (vô lí) Vậy $x=2$ Học tốt Bình luận
Đáp án:
`x=2`
Giải thích các bước giải:
`3^x + 4^x = 5^x`
`<=> (3/5)^x + (4/5)^x =1`
Ta thấy `x=2` là nghiệm của phương trình trên
Với `x ne 2` ta xét:
Nếu `x>2` thì `(3/5)^x + (4/5)^x >1`
Nếu `x<2` dễ thấy `x=0, x=1` không phải nghiệm của phương trình
Nếu `x<0` ta đặt `x=-y` thì `y>0 => y ge 1`
Ta có:
`(3/5)^x + (4/5)^x =1`
`<=> (3/5)^-y + (4/5)^-y =1`
`<=> (5/3)^y + (5/4)^y =1`
`=>` Phương trình vô nghiệm vì `(5/3)^y + (5/4)^y ge 5/3 + 5/4 >1`
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là `x=2`
Em tham khảo:
Xét $x=1$
⇒$3^{1}+4^1=5^1$ (vô lí)
Xét $x=2$
⇒$3^{2}+4^2=5^2$ (đúng)
Xét $x>2$
Ta suy ra $x=2k+1$ (K∈Z)
⇒$3^{2k+1}+$$4^{2k+1}=$$5^{2k+1}$
⇔$9^{k}.3+16^k.4=25^k.5$ (vô lí)
Vậy $x=2$
Học tốt