tìm nghiệm nguyên của pt: 2xy^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy 06/08/2021 Bởi Athena tìm nghiệm nguyên của pt: 2xy^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy
2xy2+x+y+1=x2+2y2+xy⇔(2xy2−2y2)+(y−xy)+(x−x2)+1=0⇔2y2(x−1)−y(x−1)−x(x−1)+1=0⇔(x−1)(2y2−y−x)=−12xy2+x+y+1=x2+2y2+xy⇔(2xy2−2y2)+(y−xy)+(x−x2)+1=0⇔2y2(x−1)−y(x−1)−x(x−1)+1=0⇔(x−1)(2y2−y−x)=−1 Vì x,y∈Zx,y∈Z nên x−1∈U(−1)={1;−1}x−1∈U(−1)={1;−1}. TH1: {x−1=12y2−y−x=−1⇔{x=22y2−y−2=−1{x−1=12y2−y−x=−1⇔{x=22y2−y−2=−1 ⇔{x=22y2−y+1=0⇔{x=22y2−y+1=0 (Vô nghiệm) TH2: {x−1=−12y2−y−x=1⇔{x=02y2−y−1=0{x−1=−12y2−y−x=1⇔{x=02y2−y−1=0 ⇔⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩x=0[y=1(tm)y=−12(ktm)⇔{x=0[y=1(tm)y=−12(ktm) Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là (x;y)=(0;1)(x;y)=(0;1). Bình luận
Đáp án: \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;1} \right)\). Giải thích các bước giải: \(\begin{array}{l}2x{y^2} + x + y + 1 = {x^2} + 2{y^2} + xy\\ \Leftrightarrow \left( {2x{y^2} – 2{y^2}} \right) + \left( {y – xy} \right) + \left( {x – {x^2}} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2{y^2}\left( {x – 1} \right) – y\left( {x – 1} \right) – x\left( {x – 1} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {2{y^2} – y – x} \right) = – 1\end{array}\) Vì \(x,\,\,y\,\, \in Z\) nên \(x – 1 \in U\left( { – 1} \right) = \left\{ {1; – 1} \right\}\). TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 1 = 1\\2{y^2} – y – x = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2{y^2} – y – 2 = – 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2{y^2} – y + 1 = 0\,\end{array} \right.\) (Vô nghiệm) TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 1 = – 1\\2{y^2} – y – x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\2{y^2} – y – 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\\left[ \begin{array}{l}y = 1\,\,\left( {tm} \right)\\y = – \frac{1}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\) Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;1} \right)\). Bình luận
2xy2+x+y+1=x2+2y2+xy⇔(2xy2−2y2)+(y−xy)+(x−x2)+1=0⇔2y2(x−1)−y(x−1)−x(x−1)+1=0⇔(x−1)(2y2−y−x)=−12xy2+x+y+1=x2+2y2+xy⇔(2xy2−2y2)+(y−xy)+(x−x2)+1=0⇔2y2(x−1)−y(x−1)−x(x−1)+1=0⇔(x−1)(2y2−y−x)=−1
Vì x,y∈Zx,y∈Z nên x−1∈U(−1)={1;−1}x−1∈U(−1)={1;−1}.
TH1: {x−1=12y2−y−x=−1⇔{x=22y2−y−2=−1{x−1=12y2−y−x=−1⇔{x=22y2−y−2=−1
⇔{x=22y2−y+1=0⇔{x=22y2−y+1=0 (Vô nghiệm)
TH2: {x−1=−12y2−y−x=1⇔{x=02y2−y−1=0{x−1=−12y2−y−x=1⇔{x=02y2−y−1=0
⇔⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩x=0[y=1(tm)y=−12(ktm)⇔{x=0[y=1(tm)y=−12(ktm)
Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là (x;y)=(0;1)(x;y)=(0;1).
Đáp án:
\(\left( {x;y} \right) = \left( {0;1} \right)\).
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}2x{y^2} + x + y + 1 = {x^2} + 2{y^2} + xy\\ \Leftrightarrow \left( {2x{y^2} – 2{y^2}} \right) + \left( {y – xy} \right) + \left( {x – {x^2}} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2{y^2}\left( {x – 1} \right) – y\left( {x – 1} \right) – x\left( {x – 1} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {2{y^2} – y – x} \right) = – 1\end{array}\)
Vì \(x,\,\,y\,\, \in Z\) nên \(x – 1 \in U\left( { – 1} \right) = \left\{ {1; – 1} \right\}\).
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 1 = 1\\2{y^2} – y – x = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2{y^2} – y – 2 = – 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2{y^2} – y + 1 = 0\,\end{array} \right.\) (Vô nghiệm)
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 1 = – 1\\2{y^2} – y – x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\2{y^2} – y – 1 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\\left[ \begin{array}{l}y = 1\,\,\left( {tm} \right)\\y = – \frac{1}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;1} \right)\).