Tìm nghiệm nguyên dương x, y của phương trình : X^4 +2x³ +2x² – y² +x +3 = 0

0 bình luận về “Tìm nghiệm nguyên dương x, y của phương trình : X^4 +2x³ +2x² – y² +x +3 = 0”

1. Đáp án:

   x = 1, y = 3 

   Giải thích các bước giải:

   Ta có: 

   ${x^2} + x + 3 > 0 \Rightarrow {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 3 > {x^4} + 2{x^3} + {x^2} = {({x^2} + x)^2}$

   và $3{x^3} + 3x + 1 > 0 \Rightarrow {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 3 < {x^4} + 2{x^3} + 5{x^2} + 4x + 2 = {({x^2} + x + 2)^2}$

   Suy ra: ${({x^2} + x)^2} < {y^2} < {({x^2} + x + 2)^2}$

   Vì x, y nguyên dương nên ${y^2} = {({x^2} + x + 1)^2}$

   Thay vào phương trình ban đầu: 

   $\eqalign{
     & {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} – {({x^2} + x + 1)^2} + x + 3 = 0  \cr 
     &  \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} – ({x^4} + 2{x^3} + 3{x^2} + 2x + 1) + x + 3 = 0  \cr 
     &  \Leftrightarrow  – {x^2} – 2x – 1 + x + 3 = 0  \cr 
     &  \Leftrightarrow  – {x^2} – x + 2 = 0  \cr 
     &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
      {x = 1}  \cr 
      {x =  – 2}  \cr 

    } } \right. \cr} $

   Vì x nguyên dương nên x = 1

   Khi đó: ${y^2} = {({x^4} + {x^2} + 1)^2} = {3^2}$

   Vì y nguyên dương nên y = 3.

   Bình luận