Tìm x nguyên để $\frac{x+1}{x^2+x+1}$ nguyên.

0 bình luận về “Tìm x nguyên để $\frac{x+1}{x^2+x+1}$ nguyên.”

1. Giải thích các bước giải:

    Đặt $A = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$

   Ta có:

   $\begin{array}{l}
    + )A – 1 = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} – 1\\
    = \dfrac{{ – {x^2}}}{{{x^2} + x + 1}}\\
    = \dfrac{{ – {x^2}}}{{{{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}}}\\
    \le 0,\forall x\\
    \Rightarrow A – 1 \le 0,\forall x\\
    \Rightarrow A \le 1\left( * \right)\\
    + )A + \dfrac{1}{3} = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} + \dfrac{1}{3}\\
    = \dfrac{{{x^2} + 4x + 4}}{{3\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\
    = \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{3\left( {{{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}} \right)}}\\
    \ge 0,\forall x\\
    \Rightarrow A + \dfrac{1}{3} \ge 0,\forall x\\
    \Rightarrow A \ge \dfrac{{ – 1}}{3}\left( {**} \right)
   \end{array}$

   Từ $\left( * \right),\left( {**} \right) \Rightarrow \dfrac{{ – 1}}{3} \le A \le 1$

   Để $A \in Z \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   A = 0\\
   A = 1
   \end{array} \right.$

   $\begin{array}{l}
    + )TH1:A = 0\\
    \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} = 0\\
    \Leftrightarrow x + 1 = 0\\
    \Leftrightarrow x =  – 1\\
    + )TH2:A = 1\\
    \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} = 1\\
    \Leftrightarrow x + 1 = {x^2} + x + 1\\
    \Leftrightarrow {x^2} = 0\\
    \Leftrightarrow x = 0
   \end{array}$

   Vậy $x \in \left\{ { – 1;0} \right\}$ thỏa mãn đề.

   Bình luận