tìm nguyên hàm của hàm số: a. f(x)= x/√(1+x) b. f(x)= √(1+sin2x)

0 bình luận về “tìm nguyên hàm của hàm số: a. f(x)= x/√(1+x) b. f(x)= √(1+sin2x)”

1. Giải thích các bước giải:

   $\begin{array}{l}
   a)f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {1 + x} }}\\
   \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {1 + x} }}dx} \\
    = \int {2x.\dfrac{1}{{2\sqrt {1 + x} }}dx} \\
    = \int {2xd\left( {\sqrt {1 + x} } \right)} \\
    = 2x\sqrt {1 + x}  – \int {2\sqrt {1 + x} } dx\\
    = 2x\sqrt {1 + x}  – 2\int {{{\left( {1 + x} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}dx} \\
    = 2x\sqrt {1 + x}  – 2.\dfrac{2}{3}{\left( {1 + x} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\\
    = 2x\sqrt {1 + x}  – \dfrac{4}{3}\left( {1 + x} \right)\sqrt {1 + x}  + C\\
   b)f\left( x \right) = \sqrt {1 + \sin 2x} \\
   \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\sqrt {1 + \sin 2x} dx} \\
    = \int {\sqrt {{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}} dx} \\
    = \int {\left| {\sin x + \cos x} \right|dx} \\
    = \int {\sqrt 2 \left| {\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|dx} \\
    = \sqrt 2 \int {\left| {\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|dx} \\
    = \left\{ \begin{array}{l}
   \sqrt 2 \int {\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)dx} ,0 \le \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1\\
   \sqrt 2 \int { – \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)dx, – 1 \le \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) < 0} 
   \end{array} \right.\\
    = \left\{ \begin{array}{l}
    – \sqrt 2 \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) + C,0 \le \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1\\
   \sqrt 2 \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) + C, – 1 \le \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) < 0
   \end{array} \right.
   \end{array}$

   Bình luận