Tìm nguyên hàm của hàm số sau: $\int\limits^a_b {\frac{2x^{3}+x}{\sqrt[]{x^{2}+1}}} \, dx$ các bạn ko cần quan tâm cận a, b đâu nha. Chỉ cần tìm ngu

Đáp án:

$\dfrac13\sqrt{x^2 +1}(2x^2 -1) + C$

Giải thích các bước giải:

$\quad I = \displaystyle\int\dfrac{2x^3 + x}{\sqrt{x^2 +1}}dx$

$\to I = \displaystyle\int\dfrac{(2x^2 + 1)xdx}{\sqrt{x^2 +1}}$

Đặt $t = \sqrt{x^2 +1}$

$\to t^2 = x^2 + 1 \to 2t^2 – 1 = 2x^2+1$

$\to tdt = xdx$

Ta được:

$\quad I =\displaystyle\int\dfrac{(2t^2 – 1)tdt}{t}$

$\to I =\displaystyle\int(2t^2 -1)dt$

$\to I = \dfrac23t^3 – t + C$

$\to I = \dfrac23\sqrt{(x^2 +1)^3} – \sqrt{x^2 +1} + C$

$\to I = \dfrac13\sqrt{x^2 +1}(2x^2 -1) + C$