Tìm `p` và `q` để đa thức `x^4+1` chia hết cho tam thức `x^2+px+q` 23/09/2021 Bởi Josie Tìm `p` và `q` để đa thức `x^4+1` chia hết cho tam thức `x^2+px+q`
Đáp án: `(p;q)\in {(\sqrt{2};1);(-\sqrt{2};1)}` Giải thích các bước giải: `\qquad x^4+1` `=x^4+px^3+qx^2-px^3-p^2x^2-pqx+(p^2-q)x^2+(p^2-q)px+(p^2-q)q-(p^2-2q)px-(p^2-q)q+1` `=x^2(x^2+px+q)-px(x^2+px+q)+(p^2-q)(x^2+px+q)-(p^3-2pq)x+1-(p^2-q)q` `=(x^2+px+q)(x^2-px+p^2-q)-(p^2-2q).px+1-(p^2-q)q` Vì `(x^2+px+q)(x^2-px+p^2-q)` chia hết cho `(x^2+px+q)` nên để `x^4+1` chia hết `(x^2+px+q)` thì: $\quad \begin{cases}(p^2-2q)p=0\\1-(p^2-q).q=0\end{cases}$ $⇔\left[\begin{array}{l}\begin{cases}p=0\\1-(0-q).q=0\end{cases}\\\begin{cases}p^2-2q=0\\(p^2-q).q=1\end{cases}\end{array}\right.$ $⇔\left[\begin{array}{l}\begin{cases}p=0\\q^2+1=0(vô \ nghiệm)\end{cases}\\\begin{cases}p^2-q=q\\q^2=1\end{cases}\end{array}\right.$ $⇔\left[\begin{array}{l}\begin{cases}q=1\\p^2=2q=2\end{cases}\\\begin{cases}q=-1\\p^2=2q=-2(vô \ nghiệm)\end{cases}\end{array}\right.$ $⇔\left\{\begin{matrix}q=1\\ \left[\begin{array}{l}p=\sqrt{2}\\p=-\sqrt{2}\end{array}\right.\end{matrix}\right.$ Vậy `(p;q)\in {(\sqrt{2};1);(-\sqrt{2};1)}` Bình luận
Đáp án:
`(p;q)\in {(\sqrt{2};1);(-\sqrt{2};1)}`
Giải thích các bước giải:
`\qquad x^4+1`
`=x^4+px^3+qx^2-px^3-p^2x^2-pqx+(p^2-q)x^2+(p^2-q)px+(p^2-q)q-(p^2-2q)px-(p^2-q)q+1`
`=x^2(x^2+px+q)-px(x^2+px+q)+(p^2-q)(x^2+px+q)-(p^3-2pq)x+1-(p^2-q)q`
`=(x^2+px+q)(x^2-px+p^2-q)-(p^2-2q).px+1-(p^2-q)q`
Vì `(x^2+px+q)(x^2-px+p^2-q)` chia hết cho `(x^2+px+q)` nên để `x^4+1` chia hết `(x^2+px+q)` thì:
$\quad \begin{cases}(p^2-2q)p=0\\1-(p^2-q).q=0\end{cases}$
$⇔\left[\begin{array}{l}\begin{cases}p=0\\1-(0-q).q=0\end{cases}\\\begin{cases}p^2-2q=0\\(p^2-q).q=1\end{cases}\end{array}\right.$
$⇔\left[\begin{array}{l}\begin{cases}p=0\\q^2+1=0(vô \ nghiệm)\end{cases}\\\begin{cases}p^2-q=q\\q^2=1\end{cases}\end{array}\right.$
$⇔\left[\begin{array}{l}\begin{cases}q=1\\p^2=2q=2\end{cases}\\\begin{cases}q=-1\\p^2=2q=-2(vô \ nghiệm)\end{cases}\end{array}\right.$
$⇔\left\{\begin{matrix}q=1\\ \left[\begin{array}{l}p=\sqrt{2}\\p=-\sqrt{2}\end{array}\right.\end{matrix}\right.$
Vậy `(p;q)\in {(\sqrt{2};1);(-\sqrt{2};1)}`