Tìm số dư khi chia cho các số sau (dùng đồng dư) : a) $(2014^{2015}+2015^{2016}):17$

0 bình luận về “Tìm số dư khi chia cho các số sau (dùng đồng dư) : a) $(2014^{2015}+2015^{2016}):17$”

1. Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   $\begin{array}{l}
   2014 \equiv 8\left( {\bmod 17} \right)\\
    \Rightarrow {2014^{2015}} \equiv {8^{2015}}\left( {\bmod 17} \right)\left( 1 \right)
   \end{array}$

   Mà 

   $\begin{array}{l}
   {8^4} \equiv  – 1\left( {\bmod 17} \right)\\
    \Rightarrow {\left( {{8^4}} \right)^{503}} \equiv {\left( { – 1} \right)^{503}} =  – 1\left( {\bmod 17} \right)\\
    \Rightarrow {8^{2012}} \equiv  – 1\left( {\bmod 17} \right)\\
    \Rightarrow {8^{2015}} \equiv  – {8^3} \equiv 15\left( {\bmod 17} \right)\left( 2 \right)
   \end{array}$

   Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow {2014^{2015}} \equiv 15\left( {\bmod 17} \right)\left( * \right)$

   Lại có:

   $\begin{array}{l}
   2015 \equiv 9\left( {\bmod 17} \right)\\
    \Rightarrow {2015^{2016}} \equiv {9^{2016}}\left( {\bmod 17} \right)\left( 3 \right)
   \end{array}$

   Mà 

   $\begin{array}{l}
   {9^4} \equiv  – 1\left( {\bmod 17} \right)\\
    \Rightarrow {\left( {{9^4}} \right)^{504}} \equiv {\left( { – 1} \right)^{504}} = 1\left( {\bmod 17} \right)\left( 4 \right)
   \end{array}$

   Từ $\left( 3 \right),\left( 4 \right) \Rightarrow {2015^{2016}} \equiv 1\left( {\bmod 17} \right)\left( {**} \right)$

   Từ $\left( * \right),\left( {**} \right) \Rightarrow {2014^{2015}} + {2015^{2016}} \equiv 15 + 1 = 16\left( {\bmod 17} \right)$

   $ \Rightarrow \left( {{{2014}^{2015}} + {{2015}^{2016}}} \right)$ chia $17$ dư $16$

   Vậy $\left( {{{2014}^{2015}} + {{2015}^{2016}}} \right)$ chia $17$ dư $16$

   Bình luận