Tìm số hạng đầu của cấp số nhân hữu hạn, biết rằng công bội là -3, tổng số các số hạng là 364 và số hạng cuối là 486
Tìm số hạng đầu của cấp số nhân hữu hạn, biết rằng công bội là -3, tổng số các số hạng là 364 và số hạng cuối là 486
Giải thích các bước giải:
Gọi số hạng đầu của dãy là $u_1=a$
$\to u_2=(-3)a, u_3=(-3)^2a,.. , u_n=(-3)^{n-1}a$
Theo bài ta có:
$\begin{cases} (-3)^{n-1}a= 486\\ u_1+u_2+…+u_n=364\end{cases}$
$\to \begin{cases} (-3)^{n-1}a= 486\\ a+(-3)a+(-3)^2a+…+(-3)^{n-1}a=364\end{cases}$
$\to \begin{cases} (-3)^{n-1}a= 486\\ a(1+(-3)+(-3)^2+…+(-3)^{n-1})=364\end{cases}$
$\to \begin{cases} (-3)^{n-1}a= 486\\ a\cdot \dfrac{(-3)^{n}-1}{(-3)-1}=364\end{cases}$
$\to \begin{cases} (-3)^{n-1}a= 486\\ a\cdot \dfrac{(-3)^{n}-1}{-4}=364\end{cases}$
$\to \dfrac{(-3)^{n-1}a}{a\cdot \dfrac{(-3)^{n}-1}{-4}}=\dfrac{486}{364}$
$\to (-3)^n=729$
$\to n=6$
$\to a=-2$
$S_n=\dfrac{u_1(1-q^n)}{1-q}$
$\to \dfrac{u_1(1-(-3)^n)}{1+3}=364$
$\to u_1(1-(-3)^n)=1456$
$\to -u_1.(-3)^n+u_1=1456$
$u_n=u_1.q^{n-1}$
$\to u_1.(-3)^n.\dfrac{1}{-3}=486$
$\to u_1.(-3)^n=-1458$
$\to 1458+u_1=1456$
$\to u_1=-2$