Tìm số hạng đầu và công bội biết của cấp số nhân biết: u1 + u6 = 244 u3 + u4 = 36 12/11/2021 Bởi Mackenzie Tìm số hạng đầu và công bội biết của cấp số nhân biết: u1 + u6 = 244 u3 + u4 = 36
$\begin{array}{l}\quad \begin{cases} u_1 + u_6=244\\u_3 + u_4 = 36\end{cases}\\ \to \begin{cases}u_1 + u_1q^5 = 244\\u_1q^2 + u_1q^3 = 36\end{cases}\\ \to \dfrac{1+q^5}{q^2 + q^3} = \dfrac{61}{9}\\ \to 9(q^5 + 1) = 61q^2(q+1)\\ \to 9(q+1)(q^4 – q^3+q^2 – q + 1) – 61q^2(q+1) =0\\ \to (q+1)(9q^4 – 9q^3 -52q^2 – 9q +52)=0\\ \to (q+1)(3q-1)(q-3)(3q^2 + 7q +3) =0\\ \to \left[\begin{array}{l}q = -1 \xrightarrow{\quad\quad \quad \quad\,\,\,\,} u_1 \in \varnothing \to \rm loại\\q = \dfrac13 \xrightarrow{\qquad\qquad \quad } u_1 = 243\\q = 3 \xrightarrow{\qquad\qquad \quad\,\,\, } u_1 =1\\q = \dfrac{-7 + \sqrt{13}}{6} \longrightarrow u_1 =122 +38\sqrt{13}\\q = \dfrac{-7 – \sqrt{13}}{6} \longrightarrow u_1 = 122- 38\sqrt{13}\end{array}\right. \end{array}$ Bình luận
Đáp án: Giải thích các bước giải: $\bullet \,\,\,\,\,$${{u}_{1}}+{{u}_{6}}=244$ $\to {{u}_{1}}+{{u}_{1}}.{{q}^{5}}=244$ $\to {{u}_{1}}\left( 1+{{q}^{5}} \right)=244$ $\bullet \,\,\,\,\,$${{u}_{3}}+{{u}_{4}}=36$ $\to {{u}_{1}}.{{q}^{2}}+{{u}_{1}}.{{q}^{3}}=36$ $\to {{u}_{1}}\left( {{q}^{2}}+{{q}^{3}} \right)=36\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$ Lấy $\frac{\left( 1 \right)}{\left( 2 \right)}$, ta được $\to \frac{1+{{q}^{5}}}{{{q}^{2}}+{{q}^{3}}}=\frac{61}{9}$ $\to 9\left( 1+{{q}^{5}} \right)=61\left( {{q}^{2}}+{{q}^{3}} \right)$ $\to 9{{q}^{5}}-61{{q}^{3}}-61{{q}^{2}}+9=0$ $\to 9{{q}^{5}}-27{{q}^{4}}+27{{q}^{4}}-81{{q}^{3}}+20{{q}^{3}}-60{{q}^{2}}-{{q}^{2}}+3q-3q+9=0$ $\to 9{{q}^{4}}\left( q-3 \right)+27{{q}^{3}}\left( q-3 \right)+20{{q}^{2}}\left( q-3 \right)-q\left( q-3 \right)-3\left( q-3 \right)=0$ $\to \left( q-3 \right)\left( 9{{q}^{4}}+27{{q}^{3}}+20{{q}^{2}}-q-3 \right)$ $\to \left( q-3 \right)\left( 3{{q}^{2}}+2q-1 \right)\left( 3{{q}^{2}}+7q+3 \right)=0$ $\to q=3$ hoặc $q=\frac{1}{3}$ hoặc $q=-1$ hoặc $q=\frac{-7+\sqrt{13}}{6}$ hoặc $q=\frac{-7-\sqrt{13}}{6}$ $\bullet \,\,\,\,\,$Thế $q$ lần lượt vào công thức $\left( 1 \right)$ hoặc $\left( 2 \right)$, ta tìm được ${{u}_{1}}$ $\bullet \,\,\,\,\,$$q=3\to {{u}_{1}}=1$ $\bullet \,\,\,\,\,$$q=\frac{1}{3}\to {{u}_{1}}=243$ $\bullet \,\,\,\,\,$$q=-1\to {{u}_{1}}\in \varnothing $ $\bullet \,\,\,\,\,$$q=\frac{-7+\sqrt{13}}{6}\to {{u}_{1}}=38\sqrt{13}+122$ $\bullet \,\,\,\,\,$$q=\frac{-7-\sqrt{13}}{6}\to {{u}_{1}}=-38\sqrt{13}+122$ Bình luận
$\begin{array}{l}\quad \begin{cases} u_1 + u_6=244\\u_3 + u_4 = 36\end{cases}\\ \to \begin{cases}u_1 + u_1q^5 = 244\\u_1q^2 + u_1q^3 = 36\end{cases}\\ \to \dfrac{1+q^5}{q^2 + q^3} = \dfrac{61}{9}\\ \to 9(q^5 + 1) = 61q^2(q+1)\\ \to 9(q+1)(q^4 – q^3+q^2 – q + 1) – 61q^2(q+1) =0\\ \to (q+1)(9q^4 – 9q^3 -52q^2 – 9q +52)=0\\ \to (q+1)(3q-1)(q-3)(3q^2 + 7q +3) =0\\ \to \left[\begin{array}{l}q = -1 \xrightarrow{\quad\quad \quad \quad\,\,\,\,} u_1 \in \varnothing \to \rm loại\\q = \dfrac13 \xrightarrow{\qquad\qquad \quad } u_1 = 243\\q = 3 \xrightarrow{\qquad\qquad \quad\,\,\, } u_1 =1\\q = \dfrac{-7 + \sqrt{13}}{6} \longrightarrow u_1 =122 +38\sqrt{13}\\q = \dfrac{-7 – \sqrt{13}}{6} \longrightarrow u_1 = 122- 38\sqrt{13}\end{array}\right. \end{array}$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$\bullet \,\,\,\,\,$${{u}_{1}}+{{u}_{6}}=244$
$\to {{u}_{1}}+{{u}_{1}}.{{q}^{5}}=244$
$\to {{u}_{1}}\left( 1+{{q}^{5}} \right)=244$
$\bullet \,\,\,\,\,$${{u}_{3}}+{{u}_{4}}=36$
$\to {{u}_{1}}.{{q}^{2}}+{{u}_{1}}.{{q}^{3}}=36$
$\to {{u}_{1}}\left( {{q}^{2}}+{{q}^{3}} \right)=36\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Lấy $\frac{\left( 1 \right)}{\left( 2 \right)}$, ta được
$\to \frac{1+{{q}^{5}}}{{{q}^{2}}+{{q}^{3}}}=\frac{61}{9}$
$\to 9\left( 1+{{q}^{5}} \right)=61\left( {{q}^{2}}+{{q}^{3}} \right)$
$\to 9{{q}^{5}}-61{{q}^{3}}-61{{q}^{2}}+9=0$
$\to 9{{q}^{5}}-27{{q}^{4}}+27{{q}^{4}}-81{{q}^{3}}+20{{q}^{3}}-60{{q}^{2}}-{{q}^{2}}+3q-3q+9=0$
$\to 9{{q}^{4}}\left( q-3 \right)+27{{q}^{3}}\left( q-3 \right)+20{{q}^{2}}\left( q-3 \right)-q\left( q-3 \right)-3\left( q-3 \right)=0$
$\to \left( q-3 \right)\left( 9{{q}^{4}}+27{{q}^{3}}+20{{q}^{2}}-q-3 \right)$
$\to \left( q-3 \right)\left( 3{{q}^{2}}+2q-1 \right)\left( 3{{q}^{2}}+7q+3 \right)=0$
$\to q=3$ hoặc $q=\frac{1}{3}$ hoặc $q=-1$ hoặc $q=\frac{-7+\sqrt{13}}{6}$ hoặc $q=\frac{-7-\sqrt{13}}{6}$
$\bullet \,\,\,\,\,$Thế $q$ lần lượt vào công thức $\left( 1 \right)$ hoặc $\left( 2 \right)$, ta tìm được ${{u}_{1}}$
$\bullet \,\,\,\,\,$$q=3\to {{u}_{1}}=1$
$\bullet \,\,\,\,\,$$q=\frac{1}{3}\to {{u}_{1}}=243$
$\bullet \,\,\,\,\,$$q=-1\to {{u}_{1}}\in \varnothing $
$\bullet \,\,\,\,\,$$q=\frac{-7+\sqrt{13}}{6}\to {{u}_{1}}=38\sqrt{13}+122$
$\bullet \,\,\,\,\,$$q=\frac{-7-\sqrt{13}}{6}\to {{u}_{1}}=-38\sqrt{13}+122$