tìm số hạng không chứa x trong khai triển (2x-3/ ∛x)^2n với x khác 0. Biết n là số nguyên dương thỏa mãn: nC3 +2n=(n+1)A2
Help meeeee plssss :<
tìm số hạng không chứa x trong khai triển (2x-3/ ∛x)^2n với x khác 0. Biết n là số nguyên dương thỏa mãn: nC3 +2n=(n+1)A2
Help meeeee plssss :<
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}
C_n^3 + 2n = A_{n + 1}^2 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{3!\left( {n – 3} \right)!}} + 2n = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n – 1} \right)!}}\,\,\,\,\left( {n \ge 3} \right)\\
\Leftrightarrow \frac{{n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)}}{6} + 2n = \left( {n + 1} \right).n\\
\Leftrightarrow n\left( {{n^2} – 3n + 2} \right) + 12n = 6n\left( {n + 1} \right)\\
\Leftrightarrow {n^2} – 3n + 2 + 12 = 6\left( {n + 1} \right)\\
\Leftrightarrow {n^2} – 3n + 14 = 6n + 6\\
\Leftrightarrow {n^2} – 9n + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 1\left( {loai} \right)\\
n = 8
\end{array} \right.\\
{\left( {2x – \frac{3}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)^{16}} = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k{{\left( {2x} \right)}^{16 – k}}.{{\left( { – 3{x^{ – \frac{1}{3}}}} \right)}^k}} \\
= \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k{2^{16 – k}}.{{\left( { – 3} \right)}^k}.{x^{16 – k}}.{x^{ – \frac{k}{3}}}} = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k{2^{16 – k}}.{{\left( { – 3} \right)}^k}.{x^{\frac{{48 – 4k}}{3}}}} \\
Cho\,\frac{{48 – 4k}}{3} = 0 \Leftrightarrow k = 12\,thi\,so\,hang\,khong\,chua\,x\,la:\\
C_{16}^{12}{.2^{16 – 12}}.{\left( { – 3} \right)^{12}} = {16.3^{12}}.C_{16}^{12}
\end{array}$