Tìm số nguyên x biết ║x-1 ║+ ║x-2 ║+…+ ║x-90 ║=2025

0 bình luận về “Tìm số nguyên x biết ║x-1 ║+ ║x-2 ║+…+ ║x-90 ║=2025”

1. Tham khảo

    Có `|x-1|+|x-90|=|x-1|+|90-x|≥|x-1+90-x|=89`.Dấu “`=`” xảy ra khi `1≤x≤90`

   Tương tự:

   `|x-2|+|x-89|≥87`.Dấu “`=`” xảy ra khi `2≤x≤89`

   `|x-3|+|x-88|≥85`.Dấu “`=`” xảy ra khi `3≤x≤88`

   `……….`

   `|x-45|+|x-46|≥1`.Dấu “`=`” xảy ra khi `45≤x≤46(1)`

   `⇒|x-1|+|x-2|+…+|x-90|≥89+87+85+…+1(2)`

   Đặt `A=89+87+85+…+1`

   Dãy `A` có các số hạng là:

   `(89-1):2+1=45`

   Tổng dãy `A` là:

   `\frac{45.(89+1)}{2}=2025(3)`

   Từ `(1)(2)(3)` xảy ra khi `45≤x≤46`

   Vì `x∈ZZ⇒x∈{45,46}`

   Giải thích 

   Áp dụng `|x|+|y|≥|x+y|.`Dấu “`=`” xảy ra khi `xy≥0`

   `\text{©CBT}`

   Bình luận

2. Đáp án: $x∈\{45;46\}$

    

   Giải thích các bước giải:

   Với mọi biểu thức $A$ ta luôn có: $|A|≥A$

   Dấu bằng xảy ra $⇔A≥0$

   Ta có:

   $VT=|x-1|+|x-2|+…..+|x-90|$

   $=(|x-1|+|x-90|)+(|x-2|+|x-89|)+(|x-3|+|x-88|)+…..+(|x-45|+|x-46|)$

   $=(|x-1|+|90-x|)+(|x-2|+|89-x|)+(|x-3|+|88-x|)+…..+(|x-45|+|46-x|)$

   $≥(x-1+90-x)+(x-2+89-x)+(x-3+88-x)+…..+(x-45+46-x)$

   $=89+87+85+…..+1=2025$

   Dấu bằng xảy ra

   $⇔\begin{cases}x-1≥0\\x-2≥0\\…..\\x-45≥0\\46-x≥0\\47-x≥0\\…..\\90-x≥0\end{cases}⇔\begin{cases}x≥1\\x≥2\\…..\\x≥45\\46≥x\\47≥x\\…..\\90≥x\end{cases}⇔45≤x≤46$

   Mà $x∈Z⇒x∈\{45;46\}$

   Bình luận