tìm số nguyên dương n sao cho n(n+1) lá số chính phương

Đáp án:

Để `n(n+1)` là số chính phương thì ta đặt:

`n(n+1)=a^2(n in NN^{**},a in ZZ)`

Vì `n(n+1)+n^2+n>=2`

`=>a^2>=2`.

`<=>n^2+n=a^2`

`<=>4n^2+4n=4a^2`

`<=>4n^2+4n+1=4a^2+1`

`<=>(2n+1)^2-(2a)^2=1`

`<=>(2n+1-2a)(2n+1+2a)=1`

Vì `2n,2a in ZZ`

`=>2n+1-2a,2n+2a+1 in Ư(1)={1,-1}`

`**`:\(\begin{cases}2n-2a+1=1\\2n+2a+1=1\\\end{cases}\)

`<=>` \(\begin{cases}2n-2a=0\\2n+2a=0\\\end{cases}\)

`<=>` \(\begin{cases}n=0(\text{loại})\\a=0\\\end{cases}\)

`**`:\(\begin{cases}2n-2a+1=-1\\2n+2a+1=-1\\\end{cases}\)

`<=>` \(\begin{cases}2n-2a=-2\\2n+2a=-2\\\end{cases}\)

`<=>` \(\begin{cases}n-a=-1\\n+a=-1\\\end{cases}\)

`<=>` \(\begin{cases}n=-1(\text{loại})\\a=0\\\end{cases}\)

Vậy không có giá trị nào của n là số nguyên dương để `n(n+1)` là số chính phương.