Tìm số nguyên n để biểu thức sau có giá trị nguyên lớn nhất
J= $\frac{3n+7}{n-6}$ – $\frac{n+1}{n-6}$ – $\frac{2n-17}{n-6}$
Tìm số nguyên n để biểu thức sau có giá trị nguyên lớn nhất
J= $\frac{3n+7}{n-6}$ – $\frac{n+1}{n-6}$ – $\frac{2n-17}{n-6}$
`J = (3n + 7)/(n – 6) – (n + 1)/(n – 6) – (2n – 17)/(n – 6)`
`= (3n + 7 – (n + 1) – (2n – 17) )/(n – 6)`
`= (3n + 7 – n – 1 – 2n + 17)/(n – 6)`
`= ((3n – n – 2n) + (7 – 1 + 17))/(n – 6)`
`= 23/(n – 6)`
`+)` Để `J` có giá trị là số nguyên thì `23 vdots n – 6`
`⇒ n – 6 ∈ Ư(23) = {-1; 1; -23; 23}`
`⇒ n – 6 ∈ {-1; 1; -23; 23}`
`⇒ n ∈ {5; 7; -17; 29} (1)`
`+)` Để `J` lớn nhất `⇒ J > 0`
`⇒ 23/(n – 6)` lớn nhất và ` 23/(n – 6) > 0`
`⇒ n – 6` nhỏ nhất và `n – 6 > 0`
`⇒ n` nhỏ nhất và `n > 6 (2)`
Từ `(1)` và `(2) ⇒ n = 7`
Vậy `n = 7`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$J=\cfrac{3n+7}{n-6}-\cfrac{n+1}{n-6}-\cfrac{2n-17}{n-6}\\=\cfrac{(3n+7)-(n+1)-(2n-17)}{n-6}\\=\cfrac{(3n-n-2n)+(7-1+17)}{n-6}\\=\cfrac{23}{n-6}$
Vậy, để J nguyên thì ta cần:
$23\,\,\vdots\,\, n-6\\\Rightarrow n-6\in \{1; -1; 23; -23\}\\\Leftrightarrow n\in \{7; 5; 29; -17\}$
Để J lớn nhất thì ta có thể chọn n-6 sao cho lớn hơn 0 và bé nhất, suy ra n=7
Vậy, giá trị lớn nhất của J với số nguyên n là 23 với n=7