Tìm số nguyên tố ab (a>b>0) biết ab-ba là số chính phương 11/09/2021 Bởi Arya Tìm số nguyên tố ab (a>b>0) biết ab-ba là số chính phương
Ta có $\overline{ab} – \overline{ba} = (10a + b) – (10b + a)$ $= 9a – 9b$ $= 9(a-b)$ Do $\overline{ab} – \overline{ba}$ là số chính phương nên $9(a-b)$ là số chính phương. Mặt khác, $a$ và $b$ đều là số có một chữ số, nên $1 \leq a-b < 9$. Tuy nhiên, do $\overline{ab}$ là một số nguyên tố nên $b$ phải là số lẻ, vậy $b = 1, 3, 7, 9$. Mặt khác, do $9(a-b) = 3^2(a-b)$ là một số chính phương, nên $(a-b)$ cũng phải là một số chính phương. Do đó $a – b= 1, 4$. Với $a-b = 1$ và b là một số lẻ, ta có số $\overline{ab}$ là 21, 43, 87. Trong 3 số này chỉ có 43 là số nguyên tố. Với $a-b = 4$ và b là một số lẻ nên ta có $\overline{ab}$ có thể là 51, 73. Cả 2 số này đều là số nguyên tố. Vậy số cần tìm là 43, và 73. Bình luận
Ta có
$\overline{ab} – \overline{ba} = (10a + b) – (10b + a)$
$= 9a – 9b$
$= 9(a-b)$
Do $\overline{ab} – \overline{ba}$ là số chính phương nên $9(a-b)$ là số chính phương.
Mặt khác, $a$ và $b$ đều là số có một chữ số, nên $1 \leq a-b < 9$.
Tuy nhiên, do $\overline{ab}$ là một số nguyên tố nên $b$ phải là số lẻ, vậy $b = 1, 3, 7, 9$.
Mặt khác, do $9(a-b) = 3^2(a-b)$ là một số chính phương, nên $(a-b)$ cũng phải là một số chính phương. Do đó $a – b= 1, 4$.
Với $a-b = 1$ và b là một số lẻ, ta có số $\overline{ab}$ là 21, 43, 87. Trong 3 số này chỉ có 43 là số nguyên tố.
Với $a-b = 4$ và b là một số lẻ nên ta có $\overline{ab}$ có thể là 51, 73. Cả 2 số này đều là số nguyên tố.
Vậy số cần tìm là 43, và 73.
Đáp án:
Giải thích các bước giải: