Tìm số nguyên x,y thoả mãn: $3x^{2}$ +$5y^{2}$ = 255

0 bình luận về “Tìm số nguyên x,y thoả mãn: $3x^{2}$ +$5y^{2}$ = 255”

1. Lời giải.

    `3x^2+5y^2=255` `(3)`

   `=>3x^2=255-5y^2`

   Ta có: `3x^2≥0∀x=>255-5y^2≥0<=>5y^2≤255` `(1)`

   Lại có: `5y^2≥0∀y` `(2)`

   Từ `(1)` và `(2)` suy ra `0≤5y^2≤255`

   `<=>0≤y^2≤51` `(4)`

   Để ý phương trình `(3)` ta thấy `255` chia hết cho `3`, `3x^2` chia hết cho `3`

   `=>5y^2` phải chia hết cho `3`. Mà `5` không chia hết cho `3=>y^2` chia hết cho `3` `(5)`

   Từ `(4)` và `(5)=>y^2∈{0;9;36}.`

   +) Xét `y^2=0<=>y=0`

   `=>(3)<=>3x^2+0=255`

   `<=>x^2=85`

   `=>x=±\sqrt{85}`

   Thấy rằng, `x∈ZZ,±\sqrt{85}∉ZZ=>` phương trình không có nghiệm nguyên.

   +) Xét `y^2=9<=>y=±3`

   `=>(3)<=>3x^2+45=255`

   `<=>3x^2=210`

   `<=>x^2=70`

   `=>x=±\sqrt{70}`

   Thấy rằng, `x∈ZZ,±\sqrt{70}∉ZZ=>` phương trình không có nghiệm nguyên.

   +) Xét `y^2=36<=>y=±6`

   `=>(3)<=>3x^2+5.36=255`

   `<=>3x^2+180=255`

   `<=>3x^2=75`

   `<=>x^2=25`

   `<=>x=±5(tm)`

   Vậy nghiệm nguyên `(x;y)` của phương trình là: `(±6;±5).`

   Trả lời